WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Похідна та її застосування - Реферат

Похідна та її застосування - Реферат

Характерні висловлення, що відносяться до XVIII сторіччя. Відомий математик М. Роль писав, що нове числення є колекція геніальних помилок. А великий французький мислитель Вольтер помітив, що це числення являє собою мистецтво обчислювати і точно вимірювати речі, існування яких не може бути доведено.

Рішучий крок до створення міцного фундаменту аналізу був зроблений у 20-і роки минулого століття французьким математиком О. Коші (1789—1857), що запропонував точні визначення границі функції і послідовності і на їхній основі доказавши багато фундаментальних теорем аналізу. Трохи раніш (1821 р.) означення межі і неперервності, цілий ряд інших чудових результатом (у тому числі знаменитий приклад функції, неперервної на проміжку, але не має похідної в жодній його точці) одержав чеський математик Б. Больцано (1781—1848), але його роботи стали відомі багато пізніше.

Означення границі функції по Коші формулюється в такий спосіб: "Число називається границею функції при , що прямує до (тобто ), якщо для будь-якого числа можна підібрати таке число , що для всій , задовольняє нерівность ".

Спираючись на це означення, вже неважко дати означення неперервності в точці: функція неперервна в точці , якщо .

Формулювання означення границі послідовності таке: "Число є границею послідовності , якщо для кожного існує номер , такий, що при усіх вірно нерівність ".

Коші довів наступні теореми про межі, якими ми фактично користалися при обчисленні похідних:

Якщо , то існують межі суми і різниці, добутку, частки (при ), причому

,

,

.

(1)

Гаслом багатьох математиків XVII в. був: "Рухайтеся вперед, і віра в правильність результатів до вас прийде".

Похідна

Поняття похідної

Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приростух. Тоді функція y = f(x) набуде приросту

у = f(x + x) – f(x) (рис. 5.1).

Означення. Відношення приросту у функції у = f(x) до приросту незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:

(1)

Рис. 5.1

Відношення є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута  нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення

.

Означення.

Функція у = f(x) називається диференційовною вточці х = х0, якщо існує границя

.

(2)

Значення границі при цьому називається похідною функціїу = f(x) у точціх0 і позначається

Позначення. =

Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.

Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.

Розглянемо функцію і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.

Рис. 5.2

 Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):

.

Похідну знаходимо за (2): . 

Похідні основних елементарних функцій

1. Похідна степеневої функції

.

2. Похідна показникової функції

3. Похідна логарифмічної функції

4. Похідні тригонометричних функцій

Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві

(сonst) = 0.

(7) = 0; (– 100) = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu)  = cu.

 

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:

.

Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції:

.

Знайти похідну функції .

.

Правило 4. Добуток двох диференційовних функцій u та v є диференційовною функцією

.

Рис. 5.4

Похідна добутку n функцій:

(3)

Знайти у, якщо у = (х2 +1) lnx.

 .

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох диференційовних функцій є функція диференційовна, причому

.

Знайти у, якщо .

. 

Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:

. (4)

Похідні обернених тригонометричних функцій:

Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції :

правило ланцюга.

Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ; 2) ; 3) .

 1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctgx3 і обчислюємо за формулою (5):

;

Логарифмічне диференціювання

Правило 7. Якщо функція у = f(x) являє собою добуток кількох множників, то перш ніж диференціювати її, можна прологарифмувати цю функцію.

Знайти у, якщо .

 Прологарифмуємо обидві частини даного рівняння:

.

Продиференціюємо обидві частини останньої рівності:

Правило диференціювання показниково-степеневої функції:

Щоб знайти похідну показниково-степеневої функції, потрібно спочатку продиференціювати її як показникову, а потім як степеневу функцію. Результати скласти

Окремі вимоги

1. Нехай функція y = f(x) є показниковою:

, тобто .

Тоді

.

2. Нехай функція у = f(x) є степеневою,

, тобто v(x) = .

Тоді,

Знайти у, якщо у = (х2 + 1)sinx.

 1) .

2) .

3)

. 

Похідні вищих порядків

Нехай у = f(x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у = f(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f (x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f або f (2). Якщо f (2) диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f (2) називається похідною третього порядку функціїf (х)і позначається f (2).

Loading...

 
 

Цікаве