WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Задачі, у яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів - Реферат

Задачі, у яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів - Реферат

Реферат на тему:

Задачі, у яких потрібно знаходити найбільші і найменші значення деяких виразів

В особливу групу можна виділити задачі, для розв'язку яких необхідно знайти екстремум тієї чи іншої функції, тобто визначити, при яких значеннях невідомої ця функція досягає найбільшого чи найменшого значення. Відмінна риса кожної такої задачі полягає в тому, що одна чи кілька умов у її формулюванні, що дозволяють одержати або додаткове рівняння, або виділити єдиний розв'язок з багатьох можливих, складають задачу на відшукання найбільшого чи найменшого значення деякої функції.

Розглянемо кілька прикладів.

Задача. Автомобіль виїжджає з пункту А і їде з постійною швидкістю км/год. до пункту В, що відстоїть від пункту А на відстані 24,5 км. У пункті В автомобіль переходить на рівноуповільнений рух, причому за кожну годину його швидкість зменшується на 54 км/год., і рухається так до повної зупинки. Потім автомобіль відразу ж повертає назад і повертається в А з постійною швидкістю . Якою повинна бути швидкість , щоб автомобіль за найменший час проїхав шлях від А до повної зупинки і назад до пункту А зазначеним вище способом?

Розв'язок. Підрахуємо час, що затрачає автомобіль на весь шлях від А до повної зупинки і назад. Покажемо, що цей час визначається одним невідомим параметром .

1. Відстань 24,5 км автомобіль проїжджає за час

2. Слідом за цим він рухався до повної зупинки з прискоренням — 54 км/год2 протягом часу

пройшовши при цьому відстань s, що визначається за відомою формулою для рівноприскореного руху:

3. Час, витрачений на зворотній шлях, дорівнює

Тому повний час руху автомобіля

Таким чином, час руху автомобіля від пункту А до повної зупинки і назад є функцією однієї перемінної — його швидкості на першій ділянці:

Визначимо тепер, при якому значенні ця функція досягає свого мінімуму. Для цього обчислимо її похідну

Необхідною умовою екстремуму диференційованої функції є рівність нулю її похідної

Звідси знаходимо, що При цьому значенні змінної функція має мінімум, оскільки при і при Таким чином, при швидкості 42 км/год. автомобіль, рухаючись зазначеним вище способом, витратить на весь шлях мінімально можливий час.

Відмітимо, що функція складається з двох доданків: один з них пропорційний швидкості руху , а інший обернено пропорційний цій швидкості. Таким чином, вона належить до класу функцій виду (рис. 14)

Рис. 14

Якщо числа і мають однакові знаки, то така функція має точки екстремуму. Покажемо, як знайти ці точки, не прибігаючи до диференціювання. Скористаємося відомою нерівністю "середнє арифметичне ненегативних чисел більше чи дорівнює їх середньому геометричному":

(1)

У формулі (1) рівність має місце тоді і тільки тоді, коли

Для функції

застосовуючи нерівність (1), одержуємо

якщо

Таким чином, функція при більше чи дорівнює При цьому рівність досягається у випадку, якщо

тобто

Виходить, локальний мінімум розглянутої функції дорівнює і досягається при

Аналогічним образом, при функція має локальний максимум, тому що при цьому максимум досягається при і дорівнює

Для частного випадку маємо відому нерівність

тобто сума взаємно зворотних чисел по модулю завжди більше або дорівнює 2.

Використовуючи розглянуту властивість для функцій одержуємо нерівність

Таким чином, мінімальний час руху автомобіля дорівнює год. Шукана швидкість визначається з рівності

Легко побачити, що вона дорівнює 42 км/ч.

Розглянемо ще одну задачу.

Задача. Три бригади повинні виконати роботу. Перша бригада робить у день 200 деталей, друга — на деталей менше, ніж перша а третя — на деталей більше, ніж перша. Спочатку перша і друга бригади, працюючи разом, виконують 1/5 усієї роботи, а потім усі три бригади, працюючи разом, виконують 4/5 роботи, що залишилися. На скільки деталей у день менше повинна робити друга бригада, чим перша, щоб уся робота була виконана зазначеним способом якомога швидше?

Розв'язок. З умови задачі зрозуміло, що друга бригада робить у день деталей, а третя бригада — на деталей. Якщо позначити через загальну кількість деталей, яку потрібно зробити, то час усієї роботи складається з двох частин:

— часу роботи окремо першої і другої бригад,

— часу спільної роботи бригад, так що

Таким чином, час усієї роботи є функцією тільки однієї перемінної .

Знайдемо, при якому значенні функція досягає мінімуму. Для цього прирівняємо похідну функції нулю:

З цього рівняння знаходимо Легко побачити, що при . Отже, при функція дійсно досягає мінімуму.

Цей же результат можна було б одержати, не прибігаючи до диференціювання. Оскільки чисельник дробу не залежить від то значення цієї функції визначається величиною знаменника, що є квадратичною функцією від Добре відомо, що квадратична функція

графіки якої наведені на рис. 15, має точку максимуму при і точку мінімуму при У тому і іншому випадках екстремум досягається при

Рис. 15

Ясно тепер, що t буде найменшим, якщо знаменник

дробу буде найбільшим, тобто при причому це значення знаходиться в припустимому для даної задачі інтервалі:

Отже, робота буде виконана за найменший час, якщо друга бригада буде робити на 125 деталей у день менше, ніж перша.

Відповідь. деталей.

Задача. Студентка біологічного факультету проводила експерименти по вирощуванню бактерій у живильному середовищі. При цьому вона помітила, що швидкість збільшення числа бактерій у будь-який момент часу пропорційна числу бактерій, що наявне в цей момент часу, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює 0,5 (час виміряється в годинах). За завданням необхідно виростити колонію бактерій чисельністю більш 20 000 одиниць. Який найменший час вирощування колонії бактерій зазначеної чисельності, якщо відомо, що спочатку в живильне середовище було поміщено 200 бактерій?

Розв'язок. Позначимо чисельність колонії бактерій у довільний момент часу через Тоді швидкість росту колонії визначається похідною числа бактерій за часом. Умова задачі приводить до рівняння

(2)

якому повинна задовольняти функція

На відміну від рівнянь, що зустрічалися нам при розборі задач попередніх параграфів, у це рівняння входить невідома функція, причому не тільки вона сама, але і її похідна. Таке рівняння являє собою приклад диференціальних рівнянь, що мають важливе значення в багатьох областях знань.

Безпосередньою підстановкою можна переконатися, що диференціальне рівняння (2) має розв'язок виду

(3)

де — довільний постійний коефіцієнт, причому відомо, що формула (3) вичерпує всю множину розв'язків цього рівняння.

Для визначення невідомого коефіцієнта використовується початкова умова, що є в задачі, а саме при число поміщених у середовище бактерій дорівнює 200. Використовуючи розв'язок (3), одержимо

звідки знаходимо, що . Таким чином, число бактерій у живильному середовищі змінюється за законом

За умовою задачі необхідно знайти найменший час такий, що Отже,

або

Відповідь. год.

Loading...

 
 

Цікаве