WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей. Хімічні задачі - Реферат

Задачі на складання систем рівнянь та нерівностей. Хімічні задачі - Реферат

Розв'язок. Використовуючи отримані вище результати, маємо

або

З цього рівняння знаходимо співвідношення a/V0.Знаходячи з обох частин рівняння арифметичний корінь, одержуємо

Оскільки a/V0 < 1 і 2а/V0 < 1, то

Звідси знаходимо шукане відношення:

Відповідь. 1/6 частина.

Наведемо узагальнення формули (2) на випадок, коли щоразу у сосуд доливається не вода, а розчин тієї ж солі з постійною концентрацією ,тобто йдеться про наступну задачу: у сосуді об'ємом V0л міститься р%-й розчин солі. Із сосуду виливається а л суміші і доливається стільки ж літрів q%-го розчину солі, після чого розчин перемішується. Запитується, за яким законом змінюється концентрація солі в сосуді, тобто яка буде концентрація після п процедур?

Остаточний розв'язок має вигляд

Для доведення цієї формули позначимо концентрацію розчину солі, що міститься в сосуді після п переливань, через . Тоді після чергової -й процедури, що полягає в тому, що виливають а л розчину з концентрацією ідоливають а л q %-го розчину, концентрація солі стає рівної

або

Спробуємо визначити концентрацію спз отриманого співвідношення. При цьому будемо враховувати, що початкове значення концентрації відомо:

при

Запишемо наступні дві рівності:

Віднімаючи ці вирази почленно один від одного, одержимо

Якщо позначити різницю концентрацій через останню рівність можна переписати в більш простому вигляді:

або

Звідси видно, що послідовність чисел утворює геометричну прогресію зі знаменником

Перший член цієї прогресії легко визначається:

Після цього знаходимо

або

Запишемо останню рівність для значень п, рівних 1, 2, ... n, і додамо співвідношення, що виходять, між собою:

або

При додаванні правих частин розглянутих рівностей використовувалася формула для суми членів геометричної прогресії.

Підставляючи замість її значення отримаємо формулу (3). Відмітимо, що при ця формула переходить у раніше отриману формулу (2).

Формула (2) тісно пов'язана з відомим у теорії відсотків правилом нарахування "складних відсотків".

Ми говоримо, що маємо справу з "складними відсотками", у тому випадку, коли деяка величина піддається поетапній зміні. При цьому щораз її зміна складає визначене число відсотків від значення, що ця величина мала на попередньому етапі.

Розглянемо спочатку випадок, коли наприкінці кожного етапу величина змінюється на те саме постійне число р відсотків.

Деяка величина А, вихідне значення якої дорівнює А0, наприкінці першого етапу дорівнюватиме

Наприкінці другого етапу її значення дорівнює

Тут множник показує у скільки разів величина збільшилася за один етап. У попередніх задачах про концентрації цю роль грав множник

Наприкінці третього етапу

і т. д.

Неважко зрозуміти, що наприкінці п-го етапу значення величини А визначається формулою

Ця формула показує, що значення величини А зростає (чи убуває, якщо р < 0) як геометрична прогресія, перший член якої дорівнює А0, а знаменником прогресії служить величина

Формула (4) є вихідною формулою при розв'язанні багатьох задач на відсотки.

Приклад. Ощадкаса виплачує 3% річних. Через скільки років внесена сума подвоїться?

Розв'язок. Нехай внесок складає А0руб. Тоді через п років розмір внеску стане рівним 2А0 руб. Маємо

Відповідь. Через 23 роки.

Формула (4) має цікавий додаток. У багатьох областях практики є величини, що збільшуються не стрибкоподібним чином, а змінюються безупинно, так що їхня зміна за етап складає р %.

Неважко визначити, як змінюються ці величини, якщо нарахування відсотків робити протягом кожного етапу не один раз, а т раз з розрахунку р % заетап (тобто щоразу нараховувати по ).Легко зрозуміти, що за п етапів нарахування відсотків відбудеться тп раз.

Скориставшись формулою (4), одержуємо

Тут — значення величини А в кінці п-го етапу за умови, що протягом кожного етапу відсотки нараховувалися т разів.

Необмежено збільшуючи число m, ми переходимо до розгляду безупинної зміни величини А. Тоді граничне значення величини А в кінці n-го етапу визначиться формулою

Таким чином, задача про безупинне нарахування відсотків приводить до необхідності обчислити однe з чудових границь математики. Ця границя позначається буквою е і є підставою натуральних логарифмів:

Остаточний вигляд розглянутої формули такий:

Показова функція, що стоїть в правій частині останньої формули, називається експонентою.

На закінчення цього параграфа наведемо узагальнення формули (4) на випадок, коли приріст величини А на кожному етапі свій.

Нехай величина А в кінці першого етапу випробує зміну на р1 %, наприкінці другого етапу — на р2%, наприкінці третього етапу — на р3 % і т. д. Якщо pk > 0, то величина А на цьому етапі зростає; якщо pk < 0, то величина А на цьому етапі убуває.

Як говорилося вище, зміна величини А на р % рівносильна множенню цієї величини на множник Тому остаточний вигляд шуканої формули такий:

(5)

Тут А0 — первісне значення величини А.

Іноді в задачах на складання рівнянь зустрічається поняття "середній відсоток приросту. Під цим терміном розуміють такий постійний відсоток приросту, що за п етапів давав би таку ж зміну величини А, що вона отримує в дійсності, при нерівних поетапних відсотках зміни.

Середній відсоток приросту q % визначається формулою

чи

Звідси видно, що середній відсоток приросту не дорівнює середньому арифметичному величин Тут існує повна аналогія з визначенням відомого з фізики поняття "середня швидкість руху".

Приклад. Виробка продукції за рік роботи підприємства зросла на 4 %. На наступний рік вона збільшилася на 8 %. Визначити середній щорічний приріст продукції за цей період.

Розв'язок. Позначимо середній щорічний приріст продукції через q %.Тоді

Звідси знаходимо

Вправи

1. У сосуд ємкістю 6 л налито 4 л 70%-го розчину сірчаної кислоти. В другий сосуд тієї ж ємкості налито 3 л 90%-го розчину сірчаної кислоти. Скільки літрів розчину потрібно перелити з другого сусуду в перший, щоб у ньому вийшов r %-й розчин сірчаної кислоти? Знайти всі r, при яких задача має розв'язок.

Відповідь. .

2. Маємо два розчини однієї і тієї ж солі у воді. Для одержання суміші, що містить 10 г солі і 90 г води, беруть першого розчину вдвічі більше по масі, чим другого. Через тиждень з кожного кілограма першого і другого розчину випарувалося по 200 г води, і для одержання такої ж суміші, як і раніше, потрібно першого розчину уже вчетверо більше по масі, чим другого. Скільки грамів солі містилося спочатку в 100 г кожного розчину?

Відповідь. 5 г і 20 г.

3. Маємо три суміші, складені з трьох елементів А, В і С. У першу суміш входять лише елементи А і В у ваговому відношенні 3:5, у другу суміш входять лише елементи В і С у ваговому відношенні 1:2, у третю суміш входять лише елементи А і С у ваговому відношенні 2:3. У якому відношенні потрібно взяти ці суміші, щоб у знову отриманій суміші елементи А, В і С містилися у ваговому відношенні 3:5:2?

Відповідь. 20:6:3.

4. Вироблення продукції за перший рік роботи підприємства зросло на р%, а за наступний рік у порівнянні з первісної вона зросла на 10 % більше, ніж за перший рік. Визначити, на скільки відсотків збільшилося вироблення за перший рік, якщо відомо, що за два роки вона збільшилася в цілому на 48,59%.

Відповідь. На 17%.

5. Протягом року завод двічі збільшував випуск продукції на те саме число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що на початку року завод щомісяця випускав 600 виробів, а наприкінці року став випускати щомісяця 726 виробів.

Відповідь. 10%.

6. В оленярському радгоспі череда збільшується в результаті природного приросту і придбання нових оленів. На початку першого року череда складала 3000 голів, наприкінці року радгосп купив 700 голів. Наприкінці другого року череда складала 4400 голів. Визначити відсоток природного приросту.

Відповідь. 10 %.

7. Суміш рівних об'ємів двох речовин має масу г. Маса другої речовини в суміші дорівнює масі 52/7 см3 першої речовини, а густина другої речовини дорівнює 1 г/см3. Знайти об'єм кожної речовини в суміші.

Відповідь. 4 см3.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве