WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв’язування нерівностей - Реферат

Розв’язування нерівностей - Реферат

Розв'язування показникових нерівностей зводиться до розв'язування нерівності виду

Якщо , то .

Якщо , то .

Приклад. Розв'язати показникову нерівність

  • Переходячи до основи 3, дістаємо:

.

Розв'язавши останню нерівність методом інтервалів, знайдемо розв'язок .

Приклад. Розв'язати показникову нерівність

.

  • Запишемо нерівність у вигляді

.

Поділивши обидві частини нерівності на , дістаємо:

.

Позначивши , дістанемо:

, .

Розглядаємо два випадки:

1)

2)

Остаточно маємо

Логарифмічні нерівності

Розв'язання логарифмічних нерівностей зводиться до розв'язування нерівності виду

(1)

При цьому можливі два випадки:

1) якщо , то ;

2) якщо , то .

Приклад. Розв'язати нерівність

.

  • Запишемо цю нерівність у вигляді (1):

звідки знайдемо розв'язок або

Приклад. Розв'язати нерівність

.

  • Запишемо нерівність у вигляді

.

Звідси дістаємо:

,

, .

Найскладнішими є такі логарифмічні нерівності, в яких основи логарифмів залежать від х:

(9)

Дістаємо дві системи нерівностей:

1) 2) .

Об'єднання розв'язків цих систем і буде розв'язком нерівності (2).

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Скориставшись співвідношенням розв'яжемо дві системи нерівностей:

1) 2)

Шуканий розв'язок:

Приклад. Розв'язати логарифмічну нерівність

  • Запишемо дану нерівність у вигляді (2):

Звідси дістаємо дві системи:

1) 2)

Побудуємо графік функції .

При маємо:

,

При маємо:

,

При маємо:

Розв'язок даної нерівності: .

Деякі типові задачі вищої математики,що зводяться до розв'язування системи нерівностей

Приклад. Знайти область існування функції

.

  • Функція існує, якщо виконується система нерівностей:

Нерівність вигляду розв'язують, будуючи графік функції

Отже, будуємо графіки функцій , і знаходимо область, де одночасно виконуються обидві нерівності (рис. 1). Коли йдеться про строгу нерівність, то відповідну межу позначаємо пунктиром. Шукану область заштриховуємо.

Рис. 1.

Приклад. Знайти область існування функції

.

  • Функція існує, якщо виконується нерівність

Шукану область зображено на рис. 2.

Рис. 2.

Тригонометричні нерівності

Розв'язування будь-якої тригонометричної нерівності зводиться до розв'язування однієї з наведених далі шести нерівностей.

1.

Рис. 1.

Із рис. 1 знаходимо розв'язок даної нерівності:

. (1)

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши дістанемо квадратну нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

;

2.

Із рис. 1 знаходимо розв'язок:

. (2)

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши , дістанемо квадратну нерівність:

Повернувшись до початкових позначень, розв'яжемо нерівності:

1) ;

2)

3.

Рис. 2.

Із рис. 2 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(3)

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши розв'яжемо нерівність

Переходячи до початкових позначень, маємо:

1)

2)

4.

Із рис. 2 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(4)

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши розв'яжемо нерівність

Повертаюсь до початкових позначень, маємо:

1)

2)

5.

Рис. 3.

Із рис. 3 знаходимо розв'язок даної нерівності:

(5)

Аналогічно розв'язується нерівність :

. (6)

Приклад. Розв'язати нерівність

Виконавши заміну дістанемо

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

6.

Рис. 4.

Із рис. 4 знаходимо розв'язок даної нерівності

(7)

Аналогічно розв'язується нерівність :

. (8)

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши дістаємо

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

Приклад. Розв'язати нерівність

  • Позначивши дістаємо нерівність:

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

1)

2)

9.10. Алгебраїчні нерівності

Наведемо деякі відомі нерівності, часто використовувані під час розв'язування різних задач.

1. Нерівність Коші:

(1)

2. Нерівність Гельдера

(2)

якщо ;

3. якщо (3)

Приклад. Довести нерівність

  • Якщо , то нерівність, очевидно, виконується.

Якщо , підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

. Нерівність доведено.

Приклад. Довести, що для будь-якого трикутника зі сторонами виконується нерівність

  • Оскільки обидві частини нерівності додатні, то підносимо їх до квадрата:

Оскільки то нерівність доведено.

Приклад. Довести нерівність

.

  • Помноживши обидві частини нерівності на 2, дістанемо:

звідки

Остання нерівність, очевидно, виконується, що й доводить дану нерівність.

Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b виконується нерівність

  • Підносимо обидві частини нерівності до квадрата:

У результаті тотожних перетворень дістали правильну нерівність, що й доводить дану нерівність.

Приклад. Довести, що коли

  • Узявши розглянемо функцію Щоб відшукати мінімум функції , знайдемо її похідну:

.

З рівняння випливає:

Отже, , , .

Якщо , то

Приклад. Довести нерівність

.

  • Розкриваючи дужки, дістаємо:

У результаті тотожних перетворень дістаємо нерівність, яка, очевидно, виконується, що й доводить дану нерівність.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве