WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Показникові та логарифмічні рівняння - Реферат

Показникові та логарифмічні рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Показникові та логарифмічні рівняння

Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової і логарифмічної функцій можна використати такі розклади

,

Збіжність послідовності також маємо, якщо

Показникову функцію можна розкласти в ряд:

Збіжність ряду можна поліпшити, узявши

Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:

Узявши , дістанемо такий розклад:

Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.

Показникова функція

Наведемо деякі основні властивості показникової функції

1. . 5. .

2. . 6. .

3. . 7. .

4. .

Якщо , показникова функція зростає при всіх значеннях х; якщо , ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).

Логарифмічна функція

Логарифмічна функція — це функція, обернена до показникової функції

Якщо , логарифмічна функція зростає при ; якщо , логарифмічна функція спадає при (див. рисунок).

Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:

Звичайно вважають, що

Основна логарифмічна тотожність:

Наведемо деякі властивості логарифмів.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Формула переходу до нової основи :

.

8. .

9. .

10.

11. .

12. .

Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).

Приклади перетворень логарифмічних виразів

Обчислити значення виразів (1—12).

1.

  • .

2.

  • .

3.

  • .

4..

5.

  • .

6. .

  • .

7..

  • Позначимо , тоді ,

.

Остаточно маємо:

8.

  • Позначивши , дістанемо:

.

Остаточно маємо:

.

9.

  • .

10.

  • .

11.

12.

13. Знайти , якщо .

  • .

14. Дано: . Знайти .

15. Знайти , якщо .

  • Переходимо до основи х:

;

.

Способи розв'язання логарифмічних рівнянь

1.Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними основами, то переходимо до спільної основи.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • ,

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Переходимо до основи 5: Позначивши дістанемо звідки

.

2.Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв'язок неодмінно перевіряють.

Приклад..

  • Перейдемо до основи 2: .

Далі виконуємо потенціювання: .

Корінь не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • За умовою маємо: звідки .

Корінь не задовольняє рівняння.

3.Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • , .

Логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: .

4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння .

Позначимо

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Позначимо . Тоді

5. Розклад на множники. Рівняння подається у вигляді і кожний множник прирівнюється до нуля.

Приклад. Розв'язати рівняння

Далі маємо:

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Позначивши , дістанемо рівняння , або , звідки маємо Прирівнюємо до нуля кожний множник:

1)

2)

Корінь не задовольняє рівняння.

6. Графічний спосіб розв'язування. Рівняння записують у вигляді . Далі будують графіки функцій і відшукують точки їх перетину, які визначають розв'язок рівняння.

Приклад. Розв'язати графічно рівняння .

  • Графіки функцій перетинаються в точці . Маємо розв'язок .

Розв'язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька способів їх перетворення.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Переходимо до основи 3:

.

Потенціюємо рівняння:

;

; .

Логарифмуємо рівняння за основою 3:

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Розглядаємо два випадки:

1) , тоді рівняння перетворюється на тотожність

звідки ;

2) , тоді .

Потенціюємо рівняння:

Способи розв'язування показникових рівнянь

1. Прирівнювання показників при однаковій основі

Із рівності випливає .

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Записавши рівняння у вигляді прирівняємо показники при основі 2:

Далі маємо: .

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Прирівнюємо показники при основі 5:

, або Позначивши дістанемо:

.

Корінь не задовольняє рівняння.

2. Логарифмування рівняння

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:

,

.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.

.

3. Метод заміни змінної

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Позначивши , дістанемо:

;

.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Позначивши , дістанемо ;

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Позначивши дістанемо: ; .

4. Однорідні рівняння

Рівняння можна переписати у вигляді

.

Виконавши заміну, , дістанемо рівняння .

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Перепишемо рівняння у вигляді: Виконавши заміну дістанемо , звідки .

Приклад. Розв'язати рівняння

х ≈ 1,18681439.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Запишемо рівняння у вигляді:

Позначивши , дістанемо:

.

5. Розклад рівнянняна множники

Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Узявши , розкладемо рівняння на множники: . Далі маємо: ; . Розв'язавши останнє рівняння графічно, знаходимо корінь .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Узявши , згрупуємо члени з множниками :

.

Прирівняємо кожний множник до нуля:

1) 2) , ;

. Корінь не задовольняє рівняння.

Показниково-степеневі рівняння

Розглядається рівняння

.

Наведемо частинні випадки цього рівняння.

1) , функція існує.

2) , функції існують.

3) , , .

4) , а — цілі числа одинакової парності.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • 1. .

2. .

3. . Підставляючи в рівняння, дістаємо . Оскільки вираз не має сенсу, то корінь не задовольняє рівняння.

4. .

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • 1. .

2. .

3. — не задовольняє рівняння.

4. .

Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Потенціюємо обидві частини рівняння:

Позначивши , дістанемо:

.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Переходимо до основи 3: .

Позначивши дістанемо звідки

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

1)

2) .

Приклад. Розв'язати рівняння .

Системи показникових і логарифмічних рівнянь

Під час розв'язування систем показникових і логарифмічних рівнянь поєднують прийоми, застосовувані під час розв'язування відповідних рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • Позначивши , дістанемо:

.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Логарифмуючи обидва рівняння при основі 2, дістаємо систему лінійних рівнянь

з очевидним розв'язком .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • Виключаючи , приходимо до одного рівняння:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:

.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • Запишемо систему рівнянь у вигляді:

, або , звідки

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • Подамо систему у вигляді ;

Другий розв'язок не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • З першого рівняння знаходимо і подаємо систему у вигляді , звідки .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь .

  • З першого рівняння знаходимо: . Позначивши , дістанемо:

.

Друге значення не задовольняє умову .

Остаточно маємо: .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве