WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння - Реферат

Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння - Реферат

  • Подавши рівняння у вигляді дістанемо:

Лінійне тригонометричне рівняння

Тригонометричне рівняння

(1)

називається лінійним. Воно зводиться до найпростіших рівнянь.

Поділимо обидві частини рівняння на вираз

Уведемо допоміжний кут такий що

Рівняння набирає вигляду:

або

звідки дістаємо розв'язок

Умова, за якої рівняння (1) можна розв'язати, така:

(2)

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Поділимо обидві частини рівняння на

або

Остаточно маємо:

Зведення тригонометричного рівняннядо алгебраїчного

Тригонометричне рівняння перетворюють до виду де — тригонометричний вираз, наприклад

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Усі члени рівняння подамо через функцію

Рівняння має такий розв'язок:

Рівняння виду

(31)

називається однорідним. Якщо розподілимо обидві частини рівняння на

Приклад. Розв'язати тригонометричне рівняння

  • Запишемо рівняння у вигляді

або

Це рівняння однорідне, і його можна подати у вигляді:

Маємо два розв'язки:

Наведемо в загальному вигляді типові заміни:

Розклад рівняння на множники

Якщо ліву частину рівняння вдається подати у вигляді добутку двох множників:

то можна окремо розв'язувати кожне з рівнянь і

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Розкладемо рівняння на множники:

Оскільки то рівняння набирає вигляду

і зводиться до двох рівнянь:

Рівняння має ті самі розв'язки, що й рівняння

Рівність однойменних функцій

На практиці доволі часто доводиться розв'язувати рівняння виду Розглянемо способи їх розв'язування.

1. Щоб розв'язати рівняння виконаємо такі перетворення:

Отже, вихідне рівняння зводиться до рівнянь:

(1)

Приклад. Розв'язати рівняння

  • З формул (1) знаходимо розв'язки:

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Запишемо рівняння у вигляді і знайдемо його розв'язки, скориставшись формулами (1):

2. Рівняння можна подати у вигляді Далі маємо:

звідки

(2)

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Згідно з формулами (2) дістаємо:

3. Рівняння можна подати у вигляді:

= 0,

Таким чином, рівняння зводиться до рівняння

(3)

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Згідно з формулою (3) дістаємо При непарному вирази не мають змісту. Отже, маємо остаточний розв'язок:

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Записавши рівняння у вигляді і скориставшись залежністю (3), дістанемо:

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Згідно з формулами (3) маємо:

Квадратне рівняння має дійсний розв'язок за умови

Ця нерівність виконується, якщо

При цьому дістаємо рівняння

Остаточно знаходимо розв'язок, що залежить від двох цілих чисел

Перетворення добутків на суми,а сум на добутки

Часто розв'язування тригонометричного рівняння спрощується завдяки перетворенню добутків тригонометричних функцій на суми або сум на добутки.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Перетворюємо добутки на суми:

З рівняння знаходимо два розв'язки:

Розв'язок містить розв'язок

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Перетворюємо добутки на суми:

Дістаємо рівняння

Перетворюємо суми на добутки:

Остаточно маємо рівняння

Послідовно знаходимо його розв'язки:

Розв'язування, що ґрунтується на властивості обмеженості функцій

Розглянемо кілька рівнянь, під час розв'язування яких скористаємося обмеженістю тригонометричних функцій.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Оскільки значення косинуса обмежені одиницею, то дане рівняння зводиться до системи рівнянь:

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Дане рівняння зводиться до системи рівнянь:

Щоб система рівнянь мала розв'язок, необхідне виконання такої умови:

Добираємо частинний розв'язок рівняння для цілих чисел Нехай тоді

Виконуємо заміну

Дістаємо рівняння для

Знаходимо і розв'язок

Системи тригонометричних рівнянь

Під час розв'язування систем тригонометричних рівнянь, часто є сенс вивести невідоме з-під знака тригонометричних функцій, скориставшись їхніми властивостями.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо систему рівнянь

або

Звідси маємо:

Додаючи і віднімаючи почленно ці рівняння, знаходимо невідомі

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Щоб виключити піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і додамо:

Розглядаємо два випадки:

1)

2)

Остаточно маємо:

Приклад. Знайти всі значення при яких система рівнянь

має розв'язки, і розв'язати її.

  • Додаючи і віднімаючи рівняння почленно, дістаємо:

Ці рівняння мають розв'язки, якщо виконуються нерівності:

Звідси Отже, дістаємо систему рівнянь:

або

Додаючи і віднімаючи почленно рівняння останньої системи, знаходимо шукані розв'язки:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Перетворюємо перше рівняння:

Остаточно маємо систему:

звідки

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Згідно з умовою маємо:

1)

2)

Значення не задовольняє рівняння, а отже, дістаємо:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Позначивши дістанемо

Переходячи до початкових позначень, знаходимо розв'язки даної системи:

1)

2)

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Записавши друге рівняння системи у вигляді , дістанемо:

Звідси знаходимо розв'язки даної системи:

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Відшукуємо розв'язки, розглядаючи такі випадки:

1)

2)

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Згідно з умовою маємо:

1)

2)

Значення не задовольняє систему, а отже, дістаємо:

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве