WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння - Реферат

Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Обернені тригонометричні функції. тригонометричні рівняння

Обернена функція

Нехай функція неперервна і монотонна на інтервалі і при цьому змінна набуває значень на інтервалі . Розв'язавши рівняння відносно , знайдемо розв'язок .

Функція називається оберненою до функції .

За зазначених умов обернена функція існує і неперервна при . При цьому виконуються рівності:

, ; (1)

, .

Графіки функцій , симетричні відносно бісектриси першого координатного кута.

Наприклад, функція , визначає залежність між змінними , яку можна також подати рівнянням , . Скориставшись позначеннями , подамо рівності (1) у вигляді:

, ; (2)

, .

Графіки функцій , симетричні відносно бісектриси першого координатного кута (див. рисунок).

Графік і властивості функції y = arcsin x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арксинусом (див. рисунок).

Функція монотонно зростає на відрізку і задовольняє такі нерівності:

. (1)

Арксинусом називається кут, що задовольняє нерівності (1) і синус якого дорівнює :

, . (2)

Наведемо деякі числові значення функції :

; ; ; (3)

; .

Функція — непарна, тобто

. (4)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ;

, ; (5)

, ;

, , .

Приклад. Обчислити .

  • Виконуємо обчислення:

.

Приклад. Розв'язати нерівність .

  • Маємо: ; . Оскільки , то остаточно дістаємо: .

Графік і властивості функції y = arccos x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арккосинусом (див. рисунок).

Функція монотонно спадає на відрізку і задовольняє такі нерівності:

. (1)

Арккосинусом x називається кут, що задовольняє нерівності (1) і косинус якого дорівнює :

, . (2)

Із симетрії графіка відносно точки випливає рівність:

,

звідки знаходимо формулу

. (3)

Порівнюючи графіки функцій і , дістаємо:

, . (4)

Наведемо деякі числові значення :

; ; ;

; . (5)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ;

, ;

, ,

, . (6)

Приклад. Обчислити значення функції .

.

Приклад. Обчислити значення функції .

  • .

Графік і властивості функції y = arctg x

Функція неперервна і монотонна при . Обернена до неї функція , , називається арктангенсом (див. рисунок).

Функція монотонно зростає, непарна і задовольняє нерівності:

. (1)

При цьому виконуються граничні співвідношення:

, . (2)

Арктангенсомx називається кут, що задовольняє нерівності (1) і тангенс якого дорівнює :

, . (3)

Функція набуває таких значень:

, , ; (4)

, .

Корисно запам'ятати деякі формули:

; ,

; , (5)

; ,

; , .

Приклад. Обчислити значення .

  • .

Приклад. Обчислити значення суми .

  • .

Виведемо формулу для суми арктангенсів.

Нехай справджується рівність .

Знаходимо значення

.

Звідси маємо:

. (6)

Оскільки виконуються нерівності (1), то число k може набувати значень , .

Приклад. Знайти значення суми .

.

Приклад. Знайти значення суми .

  • .

Графік і властивості функції y = arcctg x

Функція неперервна і монотонна на проміжку . Обернена до неї функція називається арккотангенсом (див. рисунок).

Функція монотонно спадає і задовольняє нерівності:

. (1)

При цьому виконуються граничні співвідношення:

. (2)

Арксотангенсом x називається кут, що задовольняє нерівності (1) і котангенс якого дорівнює :

, . (3)

Розглядаючи графіки арктангенса і арккотангенса, доходимо висновку, що завжди виконуються рівності:

; (4)

. (5)

Наведемо табличні значення арккотангенса:

; ; ;

; . (6)

Корисно запам'ятати такі формули:

, ,

, , (7)

, , ,

, .

Приклад. Обчислити значення функції.

.

Приклад. Обчислити значення функції .

Розглянемо складніші приклади обчислення значень обернених тригонометричних функцій.

Приклад. Знайти вираз для суми .

  • Нехай . Тоді ,

, .

Остаточно маємо:

.

Приклад. Обчислити .

.

Приклад. Обчислити .

  • .

Приклад. Обчислити .

;

, , .

Приклад. Обчислити .

  • Позначимо , тоді

,

, .

Приклад. Обчислити .

  • За формулою для суми арктангенсів знаходимо:

;

;

.

Приклад. Обчислити .

  • Позначимо . Тоді

, ; .

Рівняння з оберненими тригонометричними функціями

Розв'язуючи рівняння з оберненими тригонометричними функціями, застосовують тригонометричні функції.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • , , звідки .

Варто перевірити корені рівняння . Доходимо висновку, що числа також є коренями вихідного рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Позначивши , дістанемо рівняння

. Застосуємо функцію до обох частин рівняння:

, ;

, , .

Другий розв'язок не задовольняє рівняння.

Отже, маємо:, .

Приклад. Розв'язати рівняння: .

  • , , ;

, , , .

Розглядаємо два випадки:

  1. рівняння не має розв'язків;

  2. , , .

Розв'язок не задовольняє рівняння, оскільки

, .

Отже, маємо.

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • Використовуємо тотожність ; arcsin x = t, ;

; , , ;

, , .

Приклад. Розв'язати рівняння .

  • ; , ,

, , .

Розв'язок не задовольняє вихідне рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Приклад. Розв'язати рівняння

Приклад. Розв'язати рівняння .

Основні найпростіші тригонометричні рівняння

Обернені тригонометричні функції використовуються для розв'язування тригонометричних рівнянь. Розглянемо найпростіші способи розв'язування тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння , має розв'язки, які можна визначити за формулою

(1)

Розв'язування ілюструє рис. 1.

Рис. 1.

Невідомий кут позначають, як правило, буквою Рівняння при має розв'язок При існує інший симетричний відносно осі розв'язок Якщо ці симетричні розв'язки однакові. Щоб уникнути повторення розв'язків при користуються іншими формулами:

При розв'язки рівняння можна записати у вигляді (1):

або, у рівносильній формі:

При рівняння не має дійсних розв'язків.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння

  • За формулою (1) маємо:

Приклад. Розв'язати рівняння

  • Оскільки дістаємо:

2. Рівняння , має такі розв'язки (рис. 2):

(2)

Шукані кути симетричні відносно осі

Рис. 2.

Рівняння мають такі розв'язки:

Приклад. Знайти розв'язки рівняння

  • За формулою (2) маємо:

Приклад. Розв'язати рівняння

3. Рівняння має такі розв'язки (рис. 3):

(3)

Рис. 3.

Приклад. Розв'язати рівняння

  • За формулою (3) знаходимо:

Приклад. Розв'язати рівняння

Loading...

 
 

Цікаве