WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Ірраціональні рівняння - Реферат

Ірраціональні рівняння - Реферат

Дістанемо різницю кубів:

.

Звідси після спрощень маємо:

.

Виконавши заміну , , дістанемо:

, , ; , .

6. Однорідні ірраціональні рівняння

Рівняння виду

називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Скориставшись позначенням

,

дістанемо рівняння

, звідки , .

Переходячи до початкових позначень, маємо:

, .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Поділивши обидві частини рівняння на х, дістанемо:

.

Візьмемо , тоді , звідки .

У початкових позначеннях маємо:

, , , .

Корінь не задовольняє рівняння.

7. Розклад на множники

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Знайдемо спочатку ОДЗ з нерівностей

, , ;

ОДЗ: ; .

Винесемо спільний множник за дужки:

.

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата і виконаємо відповідні перетворення:

;

.

Остаточно маємо: , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Винісши корінь четвертого степеня за дужки і виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

, , , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Виносимо за дужки і виконуємо перетворення:

, .

Остаточно маємо:

, , , .

8. Рівняння з кубічними ірраціональностями

Розглянемо ірраціональне рівняння виду

. (1)

Піднесемо обидві частини рівняння до куба:

.

Спростимо здобуту рівність, скориставшись (1):

. (2)

Підносимо обидві частини рівняння (2) до куба:

.

Якщо рівняння (1) має корінь, то він є і коренем рівняння (2). Проте рівняння (2) може мати корінь, який не є коренем рівняння (1).

Позначимо , , .

Тоді рівняння (2) набере вигляду

.

Це рівняння відрізняється від рівняння (1), яке, скориставшись тими самими позначеннями, можна записати у вигляді . Якщо рівняння (2) має корені, які не задовольняють рівняння (1), тобто сторонні щодо нього, то вони є коренями таких рівнянь:

, , ,

або, у початкових позначеннях:

; , . (3)

Отже, якщо при рішенні розв'язуванні (2) з'явилися сторонні корені, то вони задовольняють систему рівнянь (3).

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Підносимо обидві частини рівняння до куба і виконуємо відповідні перетворення

; .

Остаточно маємо: , .

Цей корінь не задовольняє дане рівняння, але є коренем системи рівнянь виду (3):

; , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Підносимо рівняння до куба за формулою (2):

,

; ; .

Корінь не задовольняє рівняння, але задовольняє систему рівнянь:

; ; .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • За формулою (2) знаходимо:

,

, , .

Перевірка показує, що корінь — сторонній.

9. Заміна радикалів новими невідомими

Основним способом розв'язування складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомим. Це дає змогу звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Позначивши

, ,

дістанемо систему алгебраїчних рівнянь

Передусім виключаємо невідоме :

Звідси знаходимо розв'язки , , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Позначимо радикали:

Рівняння зводиться до системи рівнянь:

Насамперед виключаємо невідоме :

.

Дістанемо рівняння

,

яке розкладається на множники:

.

Розв'язуємо рівняння:

Корінь не задовольняє рівняння.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Уводимо позначення:

Рівняння зводиться до системи рівнянь

Розкладаємо перше рівняння на множники:

.

Розв'язуємо рівняння:

1) ;

2) , .

10. Уведення параметра

Ірраціональні рівняння так само, як алгебраїчні, можна розв'язувати ввведенням допоміжного параметра [2], що значно спрощує розв'язування.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Запишемо рівняння у вигляді

.

Заміна зводить рівняння до вигляду

.

Уводимо параметр , вважаючи .

Дістанемо ірраціональне рівняння з параметром:

, .

Маємо квадратне рівняння відносно :

.

Знаходимо розв'язки:

, .

Для відшукання розв'язуємо такі рівняння:

, , ;

, , .

Звідси знаходимо значення :

, , , .

Корені , — сторонні.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Уводимо параметр . Дістаємо рівняння

, .

Звільняючись від ірраціональності, маємо:

,

, .

Підставляючи значення , дістаємо:

, , ;

, , .

Задовольняють рівняння лише корені .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Знаходимо ОДЗ:

Підносимо обидві частини рівняння до квадрата:

;

; ;

, , , .

Корінь не входить в ОДЗ. Якщо , то . Знайдемо значення , при яких маємо корінь . Підставимо у вихідне рівняння

;

, ; .

Остаточно маємо: при ; при .

11. Рівняння з модулями

Рівняння з модулями близькі до ірраціональних рівнянь, оскільки

. (1)

Звичайно використовують означення модуля х:

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Згідно з умовою дістаємо рівняння . Якщо , то , .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Знайдемо точки, в яких модулі перетворюються на нуль:

, ; , .

Ці точки розбивають числову вісь на частини, в кожній з яких вирази під знаком модуля мають один і той самий знак.

1) ; , ;

2) ; , — маємо тотожності;

3) ; , .

Остаточно дістаємо .

Приклад. Розв'язати рівняння

.

Знайдемо точки, де , , . Розглянемо всі можливі випадки:

1) , , ;

2) ; , ;

3) ; , .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Розглянемо всі можливі випадки.

1) , :

. Знайшли розв'язок системи.

2) , :

. Розв'язок не задовольняє умову.

3) ,

. Розв'язок не задовольняє умову.

4) ,

. Знайшли розв'язок системи. 

З формули (1) випливають правила внесення (винесення) множників під знак радикала:

. (2)

Якщо множник вноситься під радикал, то знак множника залишається поза радикалом.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Помножимо обидві частини рівняння на , .

.

Розглянемо можливі випадки.

1. . Вносимо додатний множник під знак радикала:

, , ,

, . ; , .

Корінь не задовольняє умові. Остаточно маємо .

2. . Вносимо від'ємний множник під знак радикала за формулою (2):

, , , , .

, , . Корінь не задовольняє умову. Остаточно маємо: .

12. Системи ірраціональних рівнянь

Системи двох ірраціональних рівнянь дуже різноманітні, і тому важко знайти загальні способи їх розв'язування. Зазвичай намагаються виключити одне невідоме й дістати одне рівняння з одним невідомим.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Позначимо , , , .

Із системи рівнянь знаходимо

1) , , , ;

2) , , , .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Позначивши , , дістанемо систему рівнянь:

Розв'язуємо системи рівнянь:

1) ;

2) .

Приклад. Розв'язати систему рівнянь

  • Підносимо обидві частини кожного рівняння до квадрата:

.

Розв'язуємо рівняння:

, , ,

, , , .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве