WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни рівняння системою - Реферат

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни рівняння системою - Реферат

Реферат на тему:

Новий метод розв'язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод Феррарі для розв'язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни рівняння системою двох рівнянь. Розв'язування рівнянь у цілих числах

1. Відшукуємо розв'язок алгебраїчного рівняння

(1)

Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до вигляду

(2)

або

(3)

Викладемо спочатку допоміжний результат.

Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4)

тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти рівняння (1):

.

Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність. Нехай виконується умова (4). Позначимо

Для похідної знаходимо вираз

звідки дістаємо інший вираз для :

Рівняння має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника.

Зауважимо, що точки є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з рівнянь

які можна записати у вигляді

(5)

Кожне з рівнянь (5) рівносильне рівнянню (4).

2. Доведемо основний результат.

Теорема 2. Якщо умова (4) не виконується і всі корені рівняння (1) різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова (4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).

Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему рівнянь

(6)

Із перших двох рівнянь (6) при знаходимо:

(7)

Підставивши А та В в останні два рівняння (6) і поділивши ці рівняння на дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b

яку можна записати у вигляді

(8)

де

Ця система рівнянь має розв'язок

(9)

Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння

Дискримінант D цього рівняння

лише ненульовим дільником відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).

Якщо корені рівняння різні, то і з рівнянь (7) знаходимо A, B. Для рівняння (1) з дійсними коефіцієнтами всі коефіцієнти рівняння (2) будуть дійсними при

Зауважимо, що з рівнянь

можна знайти значення виражені через корені рівняння (1):

Рівняння зводиться до рівнянь і рівносильне одній із рівностей

Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему рівнянь

розв'язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у вигляді

Приклад 1. Розв'язати кубічне рівняння

  • Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:

Рівняння виду (2) набирає вигляду

і має розв'язок

Рівняння має дійсний корінь

Приклад 2. Розв'язати рівняння

.

  • Знаходимо значення

Рівняння виду (2) набирає вигляду

і має розв'язок який визначається з рівнянь

При знаходимо дійсний корінь

Метод Феррарі для розв'язування рівнянь четвертого степеня

Метод Феррарі зводить розв'язування рівняння четвертого степеня до розв'язування кубічного рівняння відносно введеного параметра. Визначивши параметр, знаходять невідоме.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Виділимо повний квадрат у лівій частині рівняння, подавши його у вигляді

.

Дістанемо таке рівняння:

.

Увівши параметр , виділяємо повний квадрат:

.

Виберемо параметр так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього дискримінант квадратного тричлена має дорівнювати нулю:

.

Для параметра дістали кубічне рівняння

.

З'ясувавши, що — корінь цього рівняння, дістанемо рівняння відносно :

,

або

.

Розглядаючи цей вираз як різницю квадратів двох виразів, подамо її у вигляді

.

Рівняння розпадається на два рівняння

;

.

Приклад. Розв'язати рівняння четвертого степеня

.

  • Виділимо повний квадрат:

,

,

. (*)

Тричлен у правій частині буде повним квадратом, якщо його дискримінант дорівнює нулю:

.

Дістанемо кубічне рівняння відносно а:

.

Добором знаходимо корінь цього кубічного рівняння.

Підставивши в рівняння (*) значення , дістанемо рівняння відносно х:

,

або

,

,

.

Остаточно знаходимо розв'язки

,

.

Метод заміни рівняння системою двох рівнянь

Іноді розв'язування рівняння можна спростити, звівши його до системи рівнянь із двома невідомими.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Узявши , дістаємо систему рівнянь

Нехай . Тоді дістанемо систему рівнянь:

,

.

Знаходимо із систем рівнянь:

1)

2)

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Позначивши , дістаємо систему рівнянь

Віднімаючи почленно перше рівняння від другого маємо:

;

1)

2)

Розв'язування рівнянь у цілих числах

Розглянемо спочатку найпростіше рівняння

. (1)

Воно має чотири розв'язки в цілих числах

.

До рівняння виду (1) зводяться складніші рівняння та системи рівнянь.

Приклад. Розв'язати систему рівнянь у цілих числах:

  • За аналогією до рівняння (1) розв'язуємо такі системи:

1)

2)

3)

4)

Приклад. Розв'язати в цілих числах рівняння

.

  • Дане рівняння можна записати у вигляді

,

тобто звести до рівняння виду (1):

1)

2)

3)

4)

Розглянемо складніший приклад.

Приклад. Розв'язати в цілих числах рівняння

.

  • Уведемо параметр :

.

Знаходимо дискримінант лівої частини рівняння:

.

Корінь з дискримінанта добувається, якщо .

При цьому знаходимо корені рівняння

,

а також розклад лівої частини на множники:

.

Перетворюємо вихідне рівняння до виду (1):

1)

2)

3)

4) .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве