WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння - Реферат

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Новий метод розв'язування кубічного алгебраїчного рівняння

1. Відшукуємо розв'язок алгебраїчного рівняння

(1)

Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до вигляду

(2)

або

(3)

Викладемо спочатку допоміжний результат.

Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(4)

тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти рівняння (1):

.

Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність. Нехай виконується умова (4). Позначимо

Для похідної знаходимо вираз

звідки дістаємо інший вираз для :

Рівняння має корені

які є вершинами рівностороннього трикутника.

Зауважимо, що точки є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з рівнянь

які можна записати у вигляді

(5)

2. Доведемо основний результат.

Теорема 2. Якщо умова не виконується і всі корені рівняння (1) різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова (4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).

Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему рівнянь

(6)

Із перших двох рівнянь (6) при знаходимо:

(7)

Підставивши А та В в останні два рівняння (6) і поділивши ці рівняння на дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b

яку можна записати у вигляді

(8)

де

Ця система рівнянь має розв'язок

(9)

Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння

Дискримінант D цього рівняння

лише ненульовим дільником відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).

Якщо корені рівняння різні, то і з рівнянь (7) знаходимо A, B. Для рівняння (1) з дійсними коефіцієнтами всі коефіцієнти рівняння (2) будуть дійсними при

Зауважимо, що з рівнянь

можна знайти значення виражені через корені рівняння (1):

Рівняння зводиться до рівнянь і рівносильне одній із рівностей

Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему рівнянь

розв'язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у вигляді

Приклад 1. Розв'язати кубічне рівняння

  • Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:

Рівняння виду (2) набирає вигляду

і має розв'язок

Рівняння має дійсний корінь

Приклад 2. Розв'язати рівняння.

.

  • Знаходимо значення

Рівняння виду (2) набирає вигляду

і має розв'язок який визначається з рівнянь

При знаходимо дійсний корінь

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве