WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння - Реферат

Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння - Реферат

Реферат на тему:

Задачі на використання властивостей дискримінанта. Використання формул Вієта. Розміщення коренів квадратного рівняння

Якщо дискримінант , то квадратне рівняння

не має дійсних коренів. Через це квадратний тричлен

не змінює свого знака при і має знак коефіцієнта або коефіцієнта .

Приклад. Для яких значень параметра виконується нерівність

?

  • Необхідною і достатньою умовою правильності нерівності є виконання системи умов

Розв'язуючи цю систему нерівностей, знаходимо відповідь: .

Приклад. При яких значеннях параметра нерівність

виконується для будь-якого значення ?

  • Приходимо до системи нерівностей

яка має розв'язок .

Приклад. Знайти всі значення параметра , при яких нерівність

виконується для пари будь-яких чисел , таких що .

  • Якщо , то . Приходимо до системи нерів-ностей

яку можна записати у вигляді

Приходимо до системи нерівностей для параметра :

Ця система має розв'язок .

Використання формул Вієта

Приклад. Знайти значення параметра , при яких відношення коренів рівняння

дорівнює 2.

  • Маємо систему рівнянь

Оскільки шукаємо тільки значення параметра , то виключаємо невідомі . Маємо рівняння:

.

Останнє рівняння має розв'язки , .

При маємо , , а при , .

Приклад. Знайти добуток значень параметра , при яких сума коренів рівняння

дорівнює сумі їхніх квадратів.

  • Скориставшись формулами Вієта, дістанемо систему

Останнє рівняння можна записати у вигляді

.

Виключаючи , дістаємо рівняння для

.

Приклад. Знайти ціле значення параметра , при якому рівняння

має рівні між собою корені.

  • Квадратне рівняння має рівні між собою корені, якщо його дискримінант дорівнює нулю. Розв'яжемо рівняння

,

звідки , . Значення шукане.

Приклад. Знайти суму кубів коренів рівняння

.

  • Можна знайти корені рівняння і обчислити суму кубів коренів:

.

Таку саму відповідь можна дістати за допомогою формул Вієта:

Функція називається симетричною, якщо вона не змінюється внаслідок довільного перестановлення аргументів, тобто .

Коефіцієнти зведеного квадратного рівняння

є симетричними функціями від коренів рівняння.

Довільну симетричну функцію завжди можна подати через основні симетричні функції , . Це й було виконано в попередньому прикладі.

Приклад. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння

буде мінімальною?

  • Використовуючи формули Вієта, дістаємо:

.

Знаходимо дискримінант рівняння

.

Оскільки при довільних значеннях параметра виконується нерівність , то на значення параметра обмежень немає. Сума квадратів коренів набуває найменшого значення, що дорівнює 1, при .

Приклад. При якому значенні параметра сума квадратів коренів рівняння

набуває найменшого значення?

  • Знаходимо дискримінант рівняння (1):

.

З умови знаходимо, що рівняння (1) має розв'язок лише при . Знаходимо суму квадратів коренів рівняння (1) за формулами Вієта:

.

Найменшого значення лінійна функція може набувати лише на кінці відрізка .

Оскільки , то досягається при .

Приклад. При яких значеннях параметра рівняння

,

мають спільний корінь?

  • Запишемо рівняння Вієта

,

а далі візьмемо . Крім значень дістаємо також . Рівняння

,

мають спільний корінь .

Ще один спосіб розв'язування прикладу полягає ось у чому.

Нехай — шуканий спільний корінь рівнянь. Маємо систему алгебраїчних рівнянь

(2)

Виключимо , помноживши друге рівняння на і віднявши від першого рівняння. Дістанемо рівняння

.

При рівняння (2) не мають дійсних розв'язків.

Виключаючи , дістаємо рівняння для параметра :

, .

При рівняння (2) не мають спільного кореня. При рівняння (2) мають спільний корінь .

Приклад. Знайти значення параметра , при якому один із коренів рівняння

(3)

утричі менший від одного з корнів рівняння

. (4)

  • Нехай — корінь рівняння (3), — корінь рівняння (4). Маємо систему рівнянь

з якої знаходимо . Підставляючи в рівняння (3), дістаємо рівняння для :

.

При рівняння (3) має корінь , а рівняння (4) — корінь .

При рівняння (3) має корінь , а рівняння (4) — корінь .

Розміщення коренів квадратного рівняння

З'ясуємо, як розміщуються на дійсній осі корені квадратного рівняння

, . (1)

З цією метою скористаємося тим, що графіком функції є парабола, опукла вниз при і опукла вгору при .

Наведемо прості теореми стосовно розміщення коренів квадратного рівняння (1) на дійсній осі.

Теорема 1.Якщо , то на інтервалі мі-ститься один корінь рівняння (1).

Теорема 2.Якщо , то точка лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 3. Якщо , то відрізок лежить між коренями рівняння (1).

Теорема 4. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 5. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на півосі .

Теорема 6. Якщо , то корені рівняння (1) лежать на інтервалі.

Приклад. Знайти значення параметра , при яких два корені рівняння

існують і належать інтервалу (0; 3).

  • Графік функції має перетинати вісь Ох або дотикатися до неї в точках, розміщених праворуч від точки . Тому дістаємо нерівності , , , які мають розв'язки .

Ще один спосіб розв'язування полягає у відшуканні найменшого кореня квадратного рівняння

та розв'язуванні нерівності , що також приводить до нерівності .

Приклад. Знайти значення параметра , при яких рівняння

має розв'язок.

  • Позначивши , дістанемо квадратне рівняння

. (2)

Вихідні рівняння мають розв'язки, якщо рівняння (2) має корінь . Застосуємо загальний метод розв'язування. Дискримінант рівняння (2).

.

Тому рівняння (2) при довільних значеннях параметра має дійсні розв'язки. Функція досягає найменшого значення при .

Рівняння (2) матиме два розв'язки на відрізку [0; 1], якщо виконуватимуться нерівності

, , .

Ці нерівності несумісні, оскільки не мають спільного розв'язку. Тому рівняння (2) не може мати двох коренів на відрізку [0; 1] при будь-якому значенні параметра .

Розглянемо всі інші можливості.

Якщо , то рівняння (2) має корінь .

Якщо , то рівняння (2) має один корінь на інтервалі (0; 1). Отже, оскільки при рівняння (2) має корінь на інтервалі (0; 1), остаточно дістанемо, що при рівняння (2) має корінь на відрізку [0; 1], а вихідне рівняння має дійсні розв'язки.

У даному прикладі можна було б відразу розв'язати рівняння (2):

.

Умова приводить до нерівності .

Приклад. При яких значеннях параметра корені квадратного рівняння

додатні?

  • Знайдемо дискримінант рівняння

.

Отже, корені рівняння існують при довільних значеннях параметра . Вершина параболи міститься точці . Для того щоб корені рівняння були додатніми, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності

Звідси випливає, що корені квадратного рівняння додатні при .

У цьому прикладі можна знайти корні

, .

З нерівності випливає .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве