WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Рівняння другого степеня з одним невідомим - Реферат

Рівняння другого степеня з одним невідомим - Реферат

Реферат на тему:

Рівняння другого степеня з одним невідомим

Алгебраїчне рівняння другого степеня з одним невідомим

(1)

називається також квадратним рівнянням.

Рівняння виду

називається зведеним квадратним рівнянням і має розв'язок

.

Для рівняння (1) розв'язок можна подати у вигляді

.

Для коренів зведеного квадратного рівняння справджується формула Вієта

Цей результат випливає з тотожності

.

Корені квадратного рівняння (1) дійсні і різні при , кратні при і не є дійсними при . Якщо , то многочлен

з дійсними коефіцієнтами набуває значень лише одного знака. При многочлен набуває значень одного знака, за винятком однієї точки — кратного кореня рівняння (1), де многочлен набуває нульового значення.

Приклад. Знайти розв'язок рівняння

.

  • При рівняння має один розв'язок .

При знаходимо дискримінант

,

а отже, рівняння має два розв'язки

.

Приклад. Розв'язати рівняння з параметром

, якщо , .

  • Виконавши відповідні перетворення, дістанемо квадратне рівняння

, (2)

дискримінант якого

.

При ліва частина рівняння (2) тотожно дорівнює нулю, а тому його розв'язком є будь-яке значення .

При обидві частини рівняння (2) можна поділити на , знайшовши два корені:

. (3)

За умови маємо

.

Розв'язавши рівняння при , дістанемо розв'язок . Остаточно доходимо таких висновків.

1. При рівняння не має розв'язків.

2. При рівняння має довільний розв'язок .

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. При рівняння має дворазові розв'язки .

5. При рівняння має комплексні розв'язки.

6. При рівняння має два різні розв'язки виду (3).

Приклад. Розв'язати рівняння

з параметром .

  • Якщо , то дане рівняння стає лінійним. Розв'язуючи рівняння , знаходимо .

При рівняння має єдиний розв'язок .

При рівняння має розв'язок .

При знаходимо дискримінант

,

а далі й корені рівняння

.

Приклад. Розв'язати рівняння

.

  • Передусім доходимо висновку, що .

При цьому рівняння зводиться до вигляду

.

Знаходимо дискримінант цього рівняння

.

При виконуються умови . При , знаходимо розв'язок рівняння

. (4)

Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок . Перевіримо виконання умови , яка набирає вигляду нерівностей

.

Остаточно доходимо таких висновків.

1. Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок .

2. При рівняння розв'язків не має.

3. При рівняння має єдиний розв'язок .

4. Якщо , , то рівняння має два розв'язки виду (4).

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве