Реферат на тему:
Рівняння другого степеня з одним невідомим
Алгебраїчне рівняння другого степеня з одним невідомим
(1)
називається також квадратним рівнянням.
Рівняння виду
називається зведеним квадратним рівнянням і має розв'язок
.
Для рівняння (1) розв'язок можна подати у вигляді
.
Для коренів зведеного квадратного рівняння справджується формула Вієта
Цей результат випливає з тотожності
.
Корені квадратного рівняння (1) дійсні і різні при , кратні при і не є дійсними при . Якщо , то многочлен
з дійсними коефіцієнтами набуває значень лише одного знака. При многочлен набуває значень одного знака, за винятком однієї точки — кратного кореня рівняння (1), де многочлен набуває нульового значення.
Приклад. Знайти розв'язок рівняння
.
При рівняння має один розв'язок .
При знаходимо дискримінант
,
а отже, рівняння має два розв'язки
.
Приклад. Розв'язати рівняння з параметром
, якщо , .
Виконавши відповідні перетворення, дістанемо квадратне рівняння
, (2)
дискримінант якого
.
При ліва частина рівняння (2) тотожно дорівнює нулю, а тому його розв'язком є будь-яке значення .
При обидві частини рівняння (2) можна поділити на , знайшовши два корені:
. (3)
За умови маємо
.
Розв'язавши рівняння при , дістанемо розв'язок . Остаточно доходимо таких висновків.
1. При рівняння не має розв'язків.
2. При рівняння має довільний розв'язок .
3. При рівняння має єдиний розв'язок .
4. При рівняння має дворазові розв'язки .
5. При рівняння має комплексні розв'язки.
6. При рівняння має два різні розв'язки виду (3).
Приклад. Розв'язати рівняння
з параметром .
Якщо , то дане рівняння стає лінійним. Розв'язуючи рівняння , знаходимо .
При рівняння має єдиний розв'язок .
При рівняння має розв'язок .
При знаходимо дискримінант
,
а далі й корені рівняння
.
Приклад. Розв'язати рівняння
.
Передусім доходимо висновку, що .
При цьому рівняння зводиться до вигляду
.
Знаходимо дискримінант цього рівняння
.
При виконуються умови . При , знаходимо розв'язок рівняння
. (4)
Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок . Перевіримо виконання умови , яка набирає вигляду нерівностей
.
Остаточно доходимо таких висновків.
1. Якщо , то рівняння має єдиний розв'язок .
2. При рівняння розв'язків не має.
3. При рівняння має єдиний розв'язок .
4. Якщо , , то рівняння має два розв'язки виду (4).
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.
Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.