WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Загальні відомості про рівняння. Рівняння першого степеня з одним невідомим - Реферат

Загальні відомості про рівняння. Рівняння першого степеня з одним невідомим - Реферат

Реферат на тему:

Загальні відомості про рівняння. Рівняння першого степеня з одним невідомим

Рівнянням називається рівність, яка містить змінні величини і виконується лише при деяких значеннях цих змінних.

Нехай — функція, визначена при дійсних значеннях , яка набуває лише дійсних значень. Якщо , то число називається нулем функції або коренем рівняння

. (1)

Розв'язати рівняння (1) означає знайти всі його корені і довести відсутність інших корнів, крім знайдених.

Два рівняння , називаються еквівалентними, або рівносильними, якщо множини їхніх розв'язків збігаються.

Процес розв'язування рівняння (1) полягає в перетворенні його до такого вигляду, який дає змогу легко знайти його корені. Під час перетворення рівняння (1) область його визначення (область допустимих значень — ОДЗ) може змінюватися, а через це можлива поява сторонніх коренів або втрата коренів.

Приклад. Розв'язати ірраціональне рівняння

. (2)

  • Піднесемо обидві дві частини рівняння до квадрата:

, , .

Унаслідок піднесення обох частин рівняння до квадрата ОДЗ розширюється і з'являється сторонній корінь , який є коренем рівняння

. (3)

Підносячи до квадрата обидві частини рівняння (3), дістаємо рівняння .

Приклад. Розв'язати алгебраїчне рівняння

.

  • Прирівнюючи чисельники, маємо:

, .

Значення не є розв'язком вихідного рівняння.

Рівняння першого степеня з одним невідомим

Розглянемо рівняння першого степеня з параметрами

. (1)

1. При рівняння має один розв'язок .

2. При рівняння не має розв'язків.

3. При кожне значення є розв'язком рівняння. Розв'язок рівняння не єдиний. Рівняння має безліч розв'язків.

Приклад. Знайти розв'язок лінійного рівняння

.

  • Зводимо рівняння до вигляду

, .

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

.

  • Дане рівняння зводитися до вигляду

x  .

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

  • .

Приклад. Розв'язати лінійне рівняння

.

  • При , рівняння перетворюється до вигляду

.

1. Якщо або , то рівняння не має розв'язків.

2. Якщо , то , тобто .

3. Якщо , , , то .

Приклад. Знайти розв'язок рівняння

.

  • Рівняння перетворюється до вигляду .

1. Якщо , то рівняння не має розв'язків.

2. Якщо , то , .

3. Якщо , , то .

Часто систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна звести до одного лінійного рівняння виду .

Приклад. Знайти розв'язок системи лінійних рівнянь

.

  • З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге та третє рівняння. Дістаємо систему

.

З першого рівняння знаходимо і підставляємо в друге рівняння. Дістаємо одне рівняння з одним невідомим . З попередніх рівнянь знаходимо .

Аналогічно виключаються невідомі із системи лінійних алгебраїчних рівнянь з параметрами.

Приклад. Знайти значення параметра b, при якому система лінійних рівнянь

має нескінченну множину розв'язків.

  • Виключаючи невідоме , дістаємо рівняння

.

При це рівняння, а отже, і вихідна система лінійних рівнянь має нескінченну множину розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , при якому система рівнянь

не має розв'язків.

  • Виключаючи невідоме , приходимо до рівняння першого степеня з одним невідомим

.

При це рівняння, а отже, і вихідна система рівнянь не має розв'язків.

Приклад. Знайти значення параметра , яке задовольняє таку умову: для будь-якого дійсного значення параметра знайдеться хоча б одне значення параметра , таке що задана система

має принаймні один розв'язок.

  • Виключивши із системи рівнянь невідоме , дістанемо лінійне рівняння

.

Якщо , то це рівняння має розв'язок при будь-якому значенні . При або коефіцієнт при у ньому перетворюється на нуль. Щоб це рівняння мало розв'язок, необхідне виконання умов

, .

Дістали два квадратних рівняння відносно с, розв'язки яких існують за умови невід'ємності їхніх дискримінантів:

Звідси знаходимо значення параметра .

Приклад. Знайти умови, за яких існують розв'язки системи лінійних рівнянь

  • Додаючи почленно рівняння системи, дістаємо:

, .

Послідовно віднімаючи від цього рівняння кожне з рівнянь системи, знаходимо розв'язки системи, виражені через параметр а:

.

Розв'язки системи рівнянь існують, якщо .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве