WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Обчислення ірраціональних виразів - Реферат

Обчислення ірраціональних виразів - Реферат

Реферат на тему:

Обчислення ірраціональних виразів

За допомогою властивостей коренів можна спрощувати й обчислювати ірраціональні вирази.

Приклад. Обчислити вираз

.

Виконаємо послідовно дії:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. .

  9. .

  10. .

Приклад. Обчислити вираз:

  • Виконаємо дії.

,

,

,

,

.

Часто використовується формула подвійного радикала:

(8)

Приклад. За формулою (8) знаходимо:

.

.

Приклад. Обчислити вираз

  • За формулою (8) знаходимо:

Остаточно дістаємо:

.

Аналогічно обчислюються кубічні корені. Маємо:

.

Підносимо обидві частини рівності до куба:

.

Порівнюючи вирази при , дістаємо однорідну систему рівнянь:

.

Поділивши рівняння почленно, приходимо до рівняння для :

.

Приклад. Обчислити значення радикала

.

  • Після піднесення до куба рівняння приходимо до системи рівнянь:

.

Поділивши почленно перше рівняння на друге, дістанемо рівняння для :

.

За схемою Горнера знаходимо корінь .

Із системи рівнянь і рівняння знаходимо . Отже, .

Приклад. Обчислити .

  • Візьмемо . Підносячи обидві частини рівняння до куба, дістаємо , звідки випливає система рівнянь

Система рівнянь має очевидний розв'язок .

Тому . Обчислюємо радикал

Остаточно маємо .

Приклад. Обчислити .

  • Оскільки , то . Далі маємо:

.

Отже, .

Приклад. Обчислити вираз .

  • Піднесемо рівняння до куба, скориставшись рівністю .

Дістали для кубічне рівняння

, або ,

має корені .

У множині дійсних чисел маємо корінь, .

3.4. Оцінки для радикалів

Якщо то , або

. (1)

Цю нерівність можна використовувати для доведення нерівностей, що містять радикали.

Приклад. Довести, що .

  • Піднісши нерівність до шостого степеня, дістанемо очевидну нерівність

.

Можна перетворювати радикали до одного й того самого показника степеня:

.

Оскільки , то .

Приклад. Оцінимо .

  • Оскільки , то . Отже, .

При перетворенні нерівностей можна використовувати символ V, розуміючи під ним знаки "", "", чи "".

Приклад. Яке число більше чи .

  • ,

.

Оскільки , то .

Розглянемо деякі класичні нерівності, які широко застосовуються в математиці.

Наведемо нерівність Коші

(2)

і загальнішу нерівність

. (3)

Нерівність Коші-Буняковського:

. (4)

При дістаємо нерівність

.

Якщо , то маємо оцінку

.

Приклад. При маємо оцінку

.

Наближене значення обчислюють за формулою

. (5)

Приклад. Знайти значення за формулою (5).

  • Нехай . Знаходимо послідовно при :

,

.

Отже .

Для відшукання можна скористатися методом Ньютона розв'язування рівняння . Дістаємо обчислювальну схему:

. (6)

Приклад. Знайдемо .

  • За формулою (6) маємо

.

Виконуємо рівняння:

,

,

,

Отже, .

Аналогічно можна знайти корені будь-якого степеня. Зауважимо, що, як правило, корені не можна точно виразити десятковим дробом. Зазвичай корені є ірраціональними числами, тобто їх не можна подати дробом , де — цілі числа.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве