WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалка - Реферат

Шпаргалка - Реферат

Шпаргалка

Лінійна алгебра

1.Озн. Матрицеюназивається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпчиків. Числа aij називають елементами матриці,а запис m x n – розмірністю матриці. Якщо кількість рядків і стовпчиків матриці збігаються, то матриця називається квадратною. Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею. Якщо всі елементи матриці, що знаходяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.Кожній квадратній мватриці можна поставити у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів. Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою (невиродженою).Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива (вироджена).

2.Дії над матрицями. Сумою матриць одного порядку A=(aij) i B=(bij) називається матриця С=А+В; С=(cij) будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В: Cij=aij+bij. Добутком матриці A=(aij) на деяке число_ називається така матриця С, кожен елемент якої Cij одержується множенням відповідних елементів матриці А на , Cij=_ x Aij. Добутком матриці A=(Aij) розмірності m x p на матрицю B=(Bij) розмірності p x n називається така матриця С=А х В розмірністю m x n, C=(Cij), кожен елемент якої знаходиться за формулою:

3.Визначником матриці A n-го порядку називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків n елементів матриці, узятих по одному з кожного її рядка і кожного стовпця.Визначником другого порядку називається вираз вигляду:

Визначником третього порядку називається вираз:

4.Властивість1. Визначник не змінюється при транспонуванні. Звідси випливає, що будь-яке твердження, яке справедливе для рядків визначника, буде справедливим і для його стовпчиків і навпаки. В2. Якщо один із рядків визначника складається з нулів, то такий визначник дорівнює нулю. В3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний. В4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю. В5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то і визначник помножиться на С. В6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.В7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то визначник буде дорівнювати сумі двох визначників, у яких елементами цого рядка будуть відповідно перший доданок в першому визначнику і другий доданок в другому визначнику, а всі інші елементи будуть ті самі, що і в початковому визначнику. В8. Визначник не змінюється, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи будь-якого іншого рядка, попередньо помножені на деяке число.В9. Сума добутків елементів рядка або стовпчика визначника n-го порядку на алгебраїчні доповнення до елементів іншого рядка або стовпчика цього ж визначника дорівнює нулю.

5.Озн. Викреслимо у визначнику n-го порядку k-й рядок і s-й стовпець, а з решти елементів утворимо визначник (n-1)-го порядку зі збереженням розміщення рядків і стовпців. Здобутий визначник називається Мінором визначника і позначається Мks . Визначник, утворений у результаті викреслювання кількох рядків і стовпців даного визначника, також називається його мінором. Викреслимо в матриці А розміру n x m кілька рядків і стовпців так, щоб із решти елементів можна було скласти визначник. Цей визначник називається мінором матриці.Алгебраїчним доповненням елемента Aij називають мінор Mij, взятий зі знаком +, якщо сума номеру стовпця і номеру рядка, на перетині яких знаходиться елемент Aij, і зі знаком – якщо ця сума непарна. Позначається Aij=(-1)i+j Mij.Озн. Визначником n-го порядку називається число, яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпчика на відпровідні їм алгебраїчні доповнення.

6.Правило Крамера.Якщо головний визначник системи _ відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розвязок, який знаходиться за формулами:

де  - головний визначник системи, а j - визначник, який одержується шляхом заміни j-го стовпчика в головному визначнику на стовпчик вільних членів.

7.Озн.матриця А-1 називається оберненою матрицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: А х А-1 =А-1 х А=Е. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену матрицю А-1 , необхідно і достатньо, щоб матриця А була неособливою, тобто щоб її визначник не дорівнював нулю.

8.Припустимо, що матриця А – невироджена і має обернену матрицю. Тоді, множачи матричну рівність АХ=В зліва на обернену матрицю, одержимо Ех=Х

Останній вираз є формулою розвязку системи лінійних рівнянь. озвязування систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці дуже ефективне в разі, коли ліва частина залишається незмінною, а стовпець вільних членів змінюється. В такому разі замість того, щоб повністю розвязувати кожну систему згідно методу оберненої матриці, достатньо один раз обчислити А-1 , а потім за формулою Х=А-1В знаходити значення невідомих при кожному зміненому стовпці вільних членів, виконуючи множення матриці А-1 на стовпець В.

9.Сукупність впорядкованих систем з n-дійсних чисел, для яких означені дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір. Елементами означеного таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами.

_______________________

числа___________________ називаються компонентами вектора__. Якщо розглянути ще один

елемент простору _,_________________, то в просторі _ можна виконувати такі дії:

Додавання двох векторів за

правилом________________________

Множення вектора на число_ за правилом__________.

Два вектори ______вважаються рівними, якщо

виконуються рівності_____________________. З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Озн. Вектор__ називається лінійною комбінацією

векторів____________, якщо існують такі

числа_________________, що___________________.

10.Система векторів______________ називається лінійно залежною, якщо існують такі числа__________ хоча б одне з яких відмінне від нуля, що має місце рівність____________________________Якщо ця рівність можлива лише у випадку, коли всі_____________________ , то система векторів_________________називається лінійно незалежною. Кількість векторів, що входять в будь-яку масимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.Ранг системи векторів має відповідний звязок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи_______________ утворити матрицю, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків(стовпчиків) цієї матриці.

11.Озн. Базисом векторного простору_ називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему

векторів_____________ _________________

_____________можна розглянути як базис простору__. Озн. Матрицю , стовпчики якої є координати векторів нового базису____________

в старому базисі_____________, будемо називати матрицею переходу від базису__ до базису__.Матриця переходу від одного базису до іншого завжди є невиродженою. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

12.Рангом матриці А розмірністю _______ називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора утвореного з елементів матриці. Максимально можливий ранг матриці може дорівнювати мінімальному з чисел_____.Теорема Кронекера-Капеллі: Для того щоб система рівнянь

була сумісною (мала розвязок), необхідно і достатньо щоб ранг основної матриці А дорівнював рангу розширеної матриці .

13.Озн. Лінійне алгебраїчне рівняння називають однорідним, якщо вільний член його дорінює нулю. Нехай задано систему лінійних однорідних рівнянь

Ця система є окремим випадком систем лінійних рівнянь

Тому для них справедлива теорема Кронекера-Капеллі. Матриця В відрізняється від матриці А стовпцем вільних членів-нулів, який не змінює рангу матриці. Отже, r(A)=r(B), тобто системи лінійних однорідних рівнянь завжди сумісні. Всі однорідні системи лінійних рівнянь мають розвязок_______________, який називають нульовим або тривіальним. Нехай ранг матриці системи дорівнює . Випадок1. Якщо_____, то система має єдиний розвязок, який є нульовим. Випадок2. Якщо______, то система має нескінченну множину ненульових розвязків, які визначаються так само, як і для довільної системи______.

14.Метод Гаусса розвязування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

до трикутного вигляду.

15.Метод Жордана-Гаусса є модифікацією методу Гаусса і часто застосовується в економічних розрахунках. Сутність методу полягає в тому, що кожне невідоме виключається не тільки з розміщених нижче, а з усіх рівнянь. У такому разі зростає обсяг обчислень. Якщо система__ рівнянь з __ невідомими

має єдиний розвязок, то вона перетворюється до

Loading...

 
 

Цікаве