WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Похідна - Реферат

Похідна - Реферат

Реферат на тему:

Похідна

План

Вступ

Визначення

Позначення

Приклад знаходження похідної за визначенням

Похідні вищих порядків

Геометричний зміст похідної

Джерела літератури

Вступ

Похідна́ — основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції. Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує). Функцію, що має кінцеву похідну, називають диференційовною.

Визначення

Нехай в деякому околі точки x0 визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається як x−x0, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x0). Тоді, якщо існує границя , то її звуть похідною функції f в точці x0.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Позначення

Похідна позначається як , що вимовляється "еф-штрих від ікс".

Функція, що має кінцеву похідну в точці x, зветься диференційованою в точці x.

Похідна також позначається, як відношення диференціалів . В фізиці для позначення похідних по часу використовують крапку над змінною, наприклад .

Приклад знаходження похідної за визначенням

Нехай є функція y=c, де c — деяка константа. Тоді при будь-якому x0 та при будь-якому Δx зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

Похідні вищих порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

  • похідна нульового порядку — сама функція

  • похідна n-го порядку для натурального n, що більше 0, — похідна похідної (n−1)-го порядку

Іноді замість "похідна n-го порядку" говорять "n-а похідна".

Похідна n-го порядку функції f зазвичай позначається як f(n)(x)

  • якщо n мале (1, 2, 3) — то використовується відповідна кількість рисок, f′(x), f′′(x), f′′′(x), вимовляється як "еф-штрих від ікс"; про другу — "еф-два-штрихи від ікс" тощо.

  • Зрідка можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: f′(x), друга: fII(x), шістнадцята: fXVI(x)).

  • В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по часу у вигляді двох крапок над змінною: .

Геометричний зміст похідної

Геометричний зміст похідної. На графіку функції вибирається абсциса x0 та обчислюється відповідна ордината f(x0). В околі точки x0 вибирається довільна точка x. Через відповідні точки на графіку функції F проводиться січна (перша світло-сіра лінія C). Відстань Δx = x - x0 прямує до нуля, в результаті січна переходить у дотичну (лінії, що поступово темніють C). Тангенс кута α нахилу цієї дотичної - це і є похідна у точці x0.

Значення похідної f'(x0) функції f у точці x0 дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої y = f(x) у точці з абсцисою x0.

Рівняння дотичної до кривої y = f(x) у точці M(x0,y0) має вигляд:

Джерела літератури

  • В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование?, "Популярные лекции по математике", Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

  • Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії. http://uk.wikipedia.org/wiki

  • Математичний словник-довідник. – К., 2001.

Loading...

 
 

Цікаве