WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Вища математика (шпаргалка) - Шпаргалка

Вища математика (шпаргалка) - Шпаргалка

1. Якщо — н.м.в. і , то обернена до неї послідовність буде н.в.в., і навпаки.

2. Якщо yn — н.в.в., то обернена до неї — н.м.в.

Означення. Число b називається границею функції при , якщо для будь-якого існує число , таке що при виконується нерівність

Коротко це означення можна записати так:

Означення. Функція називається нескінченно великою величиною (н.в.в.) при , якщо для будь-якого яке б велике воно не було, існує число , таке що з нерівності випливає , тобто

Означення. Функція називається нескінченно малою величиною (н.м.в.) при , якщо

Розглянемо односторонні границі для функції

Означення. Правостороння границя функції:

Означення. Лівостороння границяфункці

3.4.2. Друга особлива границя

Границі — наслідки другої особливої границі:

1. . 2. . 3. .

4. .

Означення. Дві н.м.в. називаються еквівалентними при якщо

Перша особлива границя

Друга особлива границя

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо границя функції дорівнює функції від границі аргументу при , тобто

Означення. Функція називається неперервною в точці якщо односторонні границі функції зліва й справа в цій точці існують, рівні між собою і дорівнюють значенню функції у цій точці, тобто:

Означення. Функція називається неперервною на проміжку, якщо вона неперервна у кожній точці цього проміжку.

3.5.2. Властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо функції і неперервні у точці то у цій точці будуть неперервними функції ; в останньому випадку за умови, що

Теорема 2. Якщо функція — неперервна для а функція — неперервна для і значення функції то складна функція — неперервна для

Теорема 3 (Коші). Якщо функція неперервна на закритому проміжку і на кінцях проміжку набуває значення різних знаків (наприклад ), тоді на відкритому проміжку існує така точка х = с, що (рис. 3.16).

Означення. Функція називається розривною в точці якщо порушується хоча б одна з умов рівності

Означення. Точка називається точкою розриву 2-го роду для функції , якщо в цій точці не існує хоча б одна з односторонніх границь (зліва чи справа).

Означення. Точка називається точкою розриву 1-го роду (розрив неусувний) для функції , якщо односторонні границі (зліва і справа) функції у цій точці існують, але не рівні між собою, тобто

Точка розриву функції— це точка х = х0, в якій порушується хоча б одна з умов рівності .

Означення.Похідноюфункції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

4.1.2. Геометричний зміст похідної

Означення.Дотичною до кривої L у точці М називається граничне положення МN січної ММ1 при прямуванні точки М1 по кривій L до точки М (рис. 4.1).

Рівняння дотичної. Оскільки , то з виразу (4.2) ді-станемо рівняння дотичної у вигляді

. (4.3)

Рівняння нормалі. Означення.Нормаллю до графіка функції в точці М0 називається перпендикуляр, проведений до дотичної в цій точці (рис. 4.4).

Використовуючи умову перпендикулярності дотичної та нормалі, знаходимо кутовий коефіцієнт нормалі і записуємо її рівняння у вигляді

.

4.1.6. Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5.Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), топохідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу

.

Означення. Функція у = f (x) називається диференційовною в точці, якщо у цій точці вона має похідну, тобто якщо існує кінцева границя:

.

Означення.Функція у = f (x) називається диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

Зв'язок між неперервністю і диференційовністю функції встановлює теорема.

Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці, то у цій точці функція неперервна.

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція — внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та — диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція — диференційовна.

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .

Похідна параметрично заданої функції. Нехай функцію від задано параметричними рівняннями:

.

Геометричний зміст похідної— похідна чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х.

Loading...

 
 

Цікаве