WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження функцій - Реферат

Дослідження функцій - Реферат

>0 >0

Якщо в деякому інтервалі крива розміщена нижче довільної дотичної, то вона називається опуклою в гору, а якщо вона розміщена вище від довільної своєї дотичної, то вона називається опуклою вниз в цьому інтервалі.

Точкою перетину називається точка на кривій, де змінюється напрям її опуклості.

Напрям опуклості кривої характеризується знаком другої похідної : якщо в деякому інтервалі , то крива опукла вниз, а якщо , то крива вгору в цьому інтервалі. (Часто криву в інтервалі, де називають вгнутою в цьому інтервалі, а в інтервалі де – опуклою в ньому).

Абсциси точок перетину кривої шукають користуючись наступним правилом:

1)Знаходять y'' і точки х, в яких , або не існує і які лежать у середині області визначення.

2) Визначають знак y'' зліва і справа від кожної з цих точок.

Досліджувана точка х буде абсцисою точки перетину, якщо по різні сторони від неї y'' має різні знаки. Інтервали, де крива опукла вгору і випукла вниз визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки абсциси точок перетину, точки розриву і граничні точки область розміщення кривої.

Знаходимо точки перетину, користуючись наведеним вище правилом. Знаходимо точки, в яких , або не існує, а крива неперервна і які лежать всередині області визначення.

в точці , яка не може бути абсцисою точки перетину, так як не належить ОДЗ. y'' не існує в точках х=0 і х=3, але ці точки не можуть бути абсцисами точок перетину, так як вони є точками розриву.

Отже, дана крива не має точок перетину. В інтервалі , тому в цьому інтервалі крива напрямлена опуклістю вгору. В інтервалі , тому в цьому інтервалі крива напрямлена опуклістю вниз.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

Розв'язання:

Для знаходження асимптоти користуються наступними положеннями.

А) Якщо при х=а крива має нескінченний розрив, тобто якщо при або при функція прямує до нескінченності (того або іншого знака), то пряма х=а є вертикальною асимптотою

Б) Невертикальні асимптоти кривої , якщо вони існують, мають рівняння виду , де параметри і визначаються :

і

При однаковій поведінці х в обох формулах, тобто в обох формулах

Якщо , дана крива має нескінченний розрив. Тому пряма є вертикальна асимптота. Для того, щоб знайти невертикальні асимптоти, знайдемо спочатку параметри

Підставляючи знайдені значення в рівняння , одержимо рівняння невертикальної асимптоти

або

Інших невертикальних асимптот крива не має, так як при значення будуть ті самі. Таким чином, дана крива має дві асимптоти: вертикальна асимптота має рівняння , а кожна асимптота має рівняння

5. Провести повне дослідження зазначеної функції і побудувати її графік.

Розв'язання:

  1. Функція терпить розрив при х=-1. При всіх інших значеннях аргументу вона неперервна.

  2. Дана функція не належить ні до парних ні до непарних, так як

  3. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат і інтервали знакосталості функції. Якщо х=0, то з даного рівняння зайдемо у=2, а при у=0 знайдемо х=1 і х=2. Це значить, що графік функції перетинає координатні осі в точках

Інтервали, де функція зберігає знак (інтервали знакосталості) визначаються з умови, що їх межами можуть бути тільки точки перетину графіка функції з віссю ОХ, точки розриву і межі визначення функції. Для досліджуваної функції такими точками х є точки:

Визначаючи знаки функції при якому –небудь значенні як і інтервалу . Наприклад, робить висновок, що в цьому інтервалі функція набуває від'ємних значень. В інтервалі (-1;1) функція набуває додатніх значень, так як, наприклад, . В інтервалі (1;2) функція набуває від'ємних значень, так як, наприклад, В інтервалі функція набуває додатніх значень, так як, наприклад, Y(3)>0

  1. Знайдемо асимптоти графіка функції. Пряма х=-1 є вертикальною асимптотою графіка функції, так як при х=-1 функція має нескінченний розрив. Знаходитимо параметри для визначення невертикальних асимптот.

Підставляючи знайдені значення в рівняння , одержимо рівняння невертикальної асимптоти

Інших невертикальних асимптот крива не має, так як при значення будуть ті самі.

  1. Знайдемо точки екстремуму і інтервали зростання і спадання функції. Знаходимо похідну.

Поклавши , знайдемо , які є критичними. y' не існує в точці x=-1, але ця точка не є критичною так як є точкою розриву.

Дослідимо критичні точки, визначаючи знак y' зліва і справа від кожної з цих точок. Для скорочення обчислень і для точності це дослідження зручно записати у виді слідуючої таблиці:

Точка є точка максимуму

Точка є точка мінімуму

  1. Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості та вгнутості. Для цього знаходимо другу похідну.

Помічаємо, що друга похідна ні при якому значенні аргументу не перетворюється в нуль. Отже, графік досліджуваної функції не має точок перетину. Лівіше від точки розриву х=-1 друга похідна

, тому в інтервалі крива опукла. Правіше від точки х=-1 друга похідна , тому в інтервалі крива вгнута.

  1. Враховуючи результати дослідження будуємо ескіз графіка даної функції

6. Провести повне дослідження даної функції і побудувати її графік

Розв'язання:

  1. Встановимо область визначення функції. Квадратний тричлен, що знаходиться під знаком логарифма, можна залишати наступним чином:

Помічаємо, що під знаком логарифма буде додатне число при довільному значенні аргументу Х. Отже, областю визначення даної функції є вся числова вісь. Функція всюди неперервна і не має точок розриву.

  1. Так як , то функція не належить ні до парних ні до непарних.

  2. Якщо х=0, то одержуємо рівняння:

, яке не має розв'язку.

Отже, графік функції перетинає координатні осі в одній точці

  1. Графік функції не має вертикальної асимптоти, так як дана функція всюди неперервна. Для визначення параметрів похилих асимптот, скористаємось формулами:

Щоб знайти останню границю двічі скористаємось правилом Лопеталя.

Отже, дана крива не має асимптот

  1. Дослідимо функцію на екстремум. Знайдемо першу похідну.

Знаменник для довільного значення х. помічаємо, при x<4 перша похідна від'ємна, а при x>1 додатна. При x=1 перша похідна змінює свій знак х мінуса на плюс. В цій точці функція має мінімум:

Отже, – точка мінімуму. Функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі

  1. Знайдемо точки перетину графіка функції і інтервали опуклості і вгнутості.

Розіб'ємо всю числову вісь на три інтервали:

В кожному інтервалі y''<0 так як, наприклад, y''(4)<0. В інтервалі так як, наприклад y''(0)>0. В третьому інтервалі y''<0 так як, наприклад, y''(4)<0

При друга похідна змінює знак. Тому ці значення аргументу х абсцисами точок перетину. Визначимо ординати цих точок.

Отже, - точки перетину графіка функції функції

Графік функції є опуклим в інтервалі і вгнутим в інтервалі

  1. Будуємо ескіз графіка даної функції

7. Знайти найменше й найбільше значення функції на відрізку

Розв'язання:

Для знаходження найбільшого або найменшого значення функції f(x) на відрізку [a; b], де вона неперервна :

  1. Знаходять критичні точки, що лежать всередині відрізка [a; b] і обчислюють значення функції в цих точках, не вдаючись в дослідження чи буде в них екстремум і якого виду;

  2. Обчислюють значення функції на кінцях відрізка, тобто f(a) і f(b)

  3. Порівнюють одержані значення функції: найбільше з них буде найбільшим значенням функції на даному відрізку, а найменше – найменшим значенням функції на всьому даному відрізку.

Знайдемо критичні точки функції y(x), що лежать всередині відрізка [-4; 0], і обчислимо значення функції в цих точках. Знаходимо похідну

Поклавши , знайдемо , які є критичними. Інших критичних точок немає, так як похідна y' існує всюди. Із знайдених критичних точок тільки одна лежить всередині відрізка [-4; 0]. Знайдемо значення функції в цій точці

Обчисляємо значення функції на кінцях відрізка [-4; 0].

Порівнюючи всі обчислені значення функції, робимо висновки: найбільше значення функції Y на відрізку [-4; 0] дорівнює і досягається нею на правому кінці відрізка в точці х=0, а її найменше значення і досягається у внутрішній критичній точці х=-3

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

  1. Ляшко І.І. Математичний аналіз в 2-х ч. Ч.1. К: Вища шк., 1992.  494 с.

  2. Овчинников П.П. Вища математика: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення. В 2-х ч. Ч.1.  К.: Техніка, 1999.  592 с.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Г.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. Пособие для студентов вузов в 2-х частях. Ч.1.  М.: Высш. шк., 1986.  415 с.

  4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математики.  М.: Наука, 1986.  317 с.

  5. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика.  К.: ЦУЛ, 2002.  400 с.

  6. Положення про курсову роботу (проект) (ДПСЯ М –9-7.5.1-47-54-04).  Полтава: ПУСКУ, 2004.  22 с.

Loading...

 
 

Цікаве