WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження функцій - Реферат

Дослідження функцій - Реферат

Реферат на тему:

Дослідження функцій

Вступ

Математичний аналіз — сукупність розділів математики, що спираються на поняття функції і на ідеї числення нескінченно малих. Важко логічно провести межу між математичним аналізом та іншими розділами математики: за історичною традицією під назвою "математичний аналіз" об'єднуються диференційне та інтегральне числення, основи теорії функцій і диференціальних рівнянь і ряд інших розділів математики, що виникли в систематичній формі в результаті праць математиків 17—18 століття. Природнім продовженням класичного математичного аналіза є функціональний аналіз, в який входять як спеціальні розділи варіаційне числення і теорія інтегральних рівнянь, що виникли раніше загального функціонального аналізу.[1] Як розділ математики, математичний аналіз оформився наприкінці 17 століття, але його апарат постійно вдосконалюється і розвивається.

Історія виникнення

В історії математики можна умовно виділити два основні періоди: елементарної та сучасного математики. Межею, від якої ведеться відлік епохи нової (іноді - вищої) математики, стало XVII століття. Саме в XVII столітті появився математичний аналіз. До кінця XVII ст. І. Ньютоном, Г. Лейбніцем та їх попередниками було створено апарат диференційного і інтегрального числення, що становить основу математичного аналізу і навіть математичну основу всього сучасного природознавства.

Рух, змінні величини і їхня взаємозв'язку оточують нас всюди. Різні види руху їх закономірності становлять основний об'єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології та ін.. Тому точна мова і відповідні математичні методи опису і вивчення таких величин виявилися необхідними в усіх областях знань приблизно як числа й арифметика необхідні для опису кількісних співвідношень. Отож математичний аналіз став основою мови і математичних методів опису змінних величин та зв'язків між ними. В наші дні без математичного аналізу неможливо було б не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, закономірності розвитку циклону, а й єфективно керувати виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, бо все це - динамічні процеси.

Елементарна математика була переважно математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел і алгебраїчні рівняння.

Передумови появи математичного аналізу

До кінця XVII ст. склалася ситуація коли в математиці було накопичено занання про розв'язки деяких важливих класів задач (наприклад, задачі про обчислення площ і об'ємів нестандартних фігур, задача проведення дотичних до кривих), а також з'явилися методи розв'язання різних часткових випадків. Виявилося, що ці задачі тісно пов'язані з задачами опису деякого (не обов'язково рівномірного) механічного руху, й зокрема обчислення його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також знаходження пройденого шляху при русі, що відбувається з заданою змінною швидкістю. Розв'язок цих проблем був необхідним для подальшого розвитку фізики, астрономії, техніки. До середини XVII ст. в працях Р. Декарта і П. Ферма було закладено основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), які дозволили сформулювати різноманітні за своїм походженням геометричні і фізичні задачі загальною мовою чисел і числових залежностей (числових функцій).

Всі ці обставини призвели до того, що наприкінці XVII ст. двом ученим І. Ньютону і Г. Лейбніцу - незалежно один від одного вдалося створити математичний апарат для розв'язку вказаних задач. В своїх працях ці вчені зібрали й узагальнили окремі результати попередників починаючи від Архімеда і закінчуючи своїми сучасниками, такими як: Б. Кавальєрі, Б. Паскаль, д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу - нового розділу математики, який вивчає різні динамічні процеси, тобто взаємозв'язки змінних величин, які математики називають функціональними залежностями чи функціями. До речі, сам термін "функція" виник саме в XVII ст., а в наш час він придбав не тільки загальноматематичне, а й загальнонаукоуве значення.

Теоретичні відомості до першої частини

Неперервна функція

Неперервна функція — одне з основних понятть математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція f(x) дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам Δx аргумента x відповідають малі зміни Δf значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервнoї функції не має стрибків, тобто може бути накреслений "не відриваючи олівець від паперу". Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Означення

Функція f(x) дійсної змінної, яка означена в області , неперервна в точці якщо для довільного ε > 0 знайдеться таке δ > 0 (яке залежить від ε), що з випливає | f(x) − f(x0) | < ε. Функція f(x) неперерена в області , якщо f(x) неперервна в кожній точці цієї області.

Функція неперервна в точці

Нехай , x0 — гранична точка множини A.

Функція f називається неперервною в точціx0 якщо:

  1. якщо функція f(x) визначена в точці x0.

  2. якщо існує границя

  3. .

Частина 1

Дослідити функцію на неперервність і побудувати її графік

Розвязання:

Функція f(x) визначена на всій числовій осі. Але з цього не випливає, що вона є неперервною на числовій осі, так як вона задана трьома різними формулами для різних інтервалів зміни аргументу х і може мати розрив в точках х=-2 і х=1, де змінюється її аналітичний вираз. Дослідимо точку х=-2. Визначимо односторонні границі в цій точці.

Тут лівосторонні і правосторонні границі скінченні, але не рівні між собою, тобто не виконується друга умова неперервності функції. Так як, односторонні границі f(x) в точці х=2 не рівні між собою в цій точці функція має розрив першого роду (скінченний розрив)

Стрибком функції f(x) в точці розриву називають різницю її односторонніх границь

,

якщо ці границі різні. Знайдемо стрибок функції в точці х=-2

Дослідимо точку х=1. Визначмо односторонні границі в цій точці

Отже, і в точці х=1 дана функція має розрив першого роду. Знайдемо стрибки функції в цій точці:

Виконаємо побудову графіка даної функції:

Дослідити функцію на неперервність в вказаних точках

Розв'язання:

При х=-2 дана функція не існує: в цій точці функція терпить розрив. Визначимо односторонні границі функції при x→-2 зліва і справа

, так як значення дробу показника прямуватиме до нуля, залишаючись, при цьому , а =1

Маємо:

, так як знаменник дробу показника прямуватиме до нуля залишаючись додатнім.

Таким чином, при х=-2 дана функція має розрив другого роду. При х=-1 Дана функція є неперервною, так як виконується всі три умови неперервності функції

Теоретичні відомості до другої частини

Асимптота

Перейти до: навігація, пошук

Асимптота кривої (грец. ασυμπτωτος — що не збігається, не дотикається) — це пряма, до якої крива при видаленні в нескінченність наближається як завгодно близько.

Якщо крива, задана рівнянням y = f(x), віддаляється в нескінченність при наближення x до скінченної точки a, то пряма x = a називається вертикальною асимптотою цієї кривої.

f(x)=1/x

Такими асимптотами є пряма x = 0 для гіперболи y = 1/x кожна з прямих x = kπ (k = 0, 1, 2, ...) для функції у = ctg(x).

f(x)=ctg(x)

Крім вертикальної асимптоти x = 0 гіпербола y = 1/x має ще й горизонтальну асимптоту у = 0, як і графік функції у = е-x sin(х), проте він, на відміну від гіперболи, перетинає свою горизонтальну асимптоту нескінченну кількість раз (+графік).

Криві, що описуються рівняннями х + у — Заху = 0 (декартів лист) (+графік), та у = 1/х + х мають похилу асимптоту.

f(x)=1/x+x

Коефіцієнти k і b в рівнянні прямої у = kx + b — похилої асимптоти кривої у = f(x) при віддаленні до плюс чи мінус нескінченності, знаходять як границі:

Горизонтальна асимптота є частковим випадком похилої при k = 0. Дослідження асимптот дозволяє чіткіше уявити поведінку графіка функції, оскільки властивості функції поблизу її асимптоти дуже близькі до властивостей асимптоти — лінійної функції, властивості якої добре вивчені. Систематичне використання цієї властивості породило напрямок у сучасній математиці — "асимптотичні методи дослідження".

Не всі криві мають асимптоти. Наприклад парабола асимптот не має.

Границя функції в точці

Перейти до: навігація, пошук

Нехай , x0 —гранична точка множини A. Число a називається границею функції f в точціx0, якщо

Позначення:

або при

Екстремум

Екстремум (рос.экстремум, англ. extremum, нім. Еxtremum n) – найбільше та найменше значення функції.

Розрізняють:

локальний – екстремум в деякому довільно малому околі даної точки, і

глобальний – екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Частина 2

  1. Знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перетину графіка функції

Розв'язання:

Визначимо спочатку область визначення даної функції. Вираз, що стоїть під знаком логарифма повинен бути додатнім.

Loading...

 
 

Цікаве