WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Доведення:

Маємо

.

Покладемо

.

Теорема 6.1:

Нехай –просте кільце. Тоді –це кінцева пряма сума простих лівих ідеалів. В немає двосторонніх ідеалів, крім 0 чи . Якщо - прості ліві ідеали, тоді існує елемент , такий, що

.

При цьому

.

Доведення:

Так як кільце за означенням напівпросте, то воно є прямою сумою простих лівих ідеалів, наприклад . Можемо представити 1 у вигляді кінцевої суми

,

де . Тоді

.

Це доводить наше перше твердження. Що стосується другого твердження, то воно є наслідком третього.

Нехай, таким чином, -простий лівий ідеал. Маємо розклад у пряму суму .

Нехай –проекція. –ендоморфізм. Нехай –довільний інший простий ідеал і –ізоморфізм (який існує за означенням простого кільця). Тоді відображення

є –ендоморфізм. За лемою існує елемент , такий, що

для всіх . Застосуємо це до елемента . Знайдемо

для всіх . Відображення

є ненульовим –гомоморфізмом в і, відповідно, ізоморфізмом. Звідси випливає, що

і теорема 6.1 доведена.

Наслідок1:

Нехай –просте кільце, - його простий лівий ідеал і –простий –модуль. Тоді

і модуль точний.

Доведення:

Маємо

.

Припустимо, що

для деякого .

Тоді

.

Але –двосторонній ідеал. Звідси випливає, що і . А це доводить те, що модуль є точним.

Теорема 6.2(Риффель):

Нехай –кільце, яке не містить двосторонніх ідеалів, відмінних від 0 чи . Нехай –лівий ідеал, і . Тоді природнє відображення є ізоморфізмом.

Доведення:

Ядро –двосторонній ідеал, так, що відображення ін'єктивне. Так як –двосторонній ідеал, то і . Для довільних і маємо

,

оскільки множення на справа є –ендоморфізмом . Звідси випливає, що –лівий ідеал в , так що

.

Отже, теорема доведена.

Теорема 6.2 показує, що можна представити як кільце ендоморфізмів деякого скінченновимірного модуля над тілом.

Зворотньо:

Теорема 6.3:

Нехай –тіло, -скінченновимірний векторний простір над на . Тоді кільце –просте і –простий –модуль. Крім того, .

Доведення:

Спочатку покажемо, що –простий – модуль. Нехай , . Тоді елемент може бути доповнений до базису над , а, отже, і для заданого існує елемент , такий, що

.

Звідси випливає, що не може містити ніякого інваріантного підпростору, крім 0 і самого себе, тобто просте над . Зрозуміло, що –точний модуль над . Нехай –базис над . Відображення

кільця в є ін'єктивним –гомоморфізмом в . Для заданих існує елемент, такий, що

,

а, отже, кільце –ізоморфне . Це показує, що (як –модуль над собою) ізоморфний прямій сумі простих модулів, а, отже, напівпростий. Всі ці прості модулі ізоморфні один одному, і значить, за теоремою 1 кільце просте.

Залишається довести, що

.

–напівпростий модуль над , так як у векторному просторі всякий підпростір володіє додатковим підпростором. Тому можна застосувати теорему щільності ( і тепер помінялися ролями!).

Нехай і , . В силу теореми щільності існує елемент , такий, що

.

Нехай . Існує елемент , такий, що

.

Тоді

.

Таким чином,

для всіх .

Це означає, що .

Отже, теорема доведена.

Теорема 6.4:

Нехай –поле, -скінченновимірний векторний простір розмірності над і . Тоді - -простір і

.

Крім того, є число простих лівих ідеалів, які містяться в довільному розкладі у пряму суму таких ідеалів.

Доведення:

Простір –ендоморфізмів –простору представляється простором матриць розміру над , так, що розмірність як –простору рівна . З іншого боку, доведення теореми 5 показує, що як –модуль –ізоморфний прямій сумі . Розклад модуля в пряму суму простих модулів є однозначним, що і доводить наше твердження.

Можемо ототожнити з кільцем матриць , як тільки вибраний базис . В цьому випадку можна взятии в якості простих лівих ідеалів ідеали , які складаються з матриць з єдиним ненульовим –м стовпцем. Елементи з виглядають, наприклад, так:

.

Видно, що є прямою сумою стовпців.

Теорема 6.3 приводить до наступного твердження: якщо матриця комутує з усіма елементами з , то –скалярна матриця.

Дійсно, така матриця може розглядатися як –ендоморфізм , а відомо за теоремою 6.3, що будь-який такий ендоморфізм лежить в .

7.Поняття про модуль

Нехай –кільце. Тоді адитивна абелева група є лівим –модулем, якщо діє на , причому виконуються наступні умови:

(М1) ,

(М2) ,

(М3) ,

(М4)

для довільних , та . Якщо відображення

задає цю дію, то позначає наступний модуль. Поняття правого –модуля вводиться симетрично. В обох випадках називається кільцем скалярів, а його елементи – скалярами.

Теорема 7.1:

Нехай –кільце, а –адитивна абелева група.

Твердження7.1.1 :

Якщо –лівий –модуль, то відображення

,

таке, що

для будь-яких , є кільцевим гомоморфізмом. Навпаки, якщо –кільцевий гомоморфізм, то існує лівий – модуль , такий, що

для будь-яких .

Символ

позначає цей же модуль.

Твердження7.1.2 :

Твердження 10.1 виконується для правих модулів, якщо замінити "лівий " на "правий" та приєднати приставку анти до слова "гомоморфізм". Символ , де –кільцевий антигомоморфізм, позначає той же самий модуль.

Доведення:

Якщо задано відображення

з вказаною у формулюванні теореми властивістю, то (М1) виконується тоді і тільки тоді, коли є ендоморфізм групи , (М2) виконується тоді і тільки тоді, коли є гомоморфізм адитивної групи кільця , (М3) виконується тоді і тільки тоді, коли є гомоморфізм мультиплікативного моноїда кільця та (М4) виконується тоді і тільки тоді, коли є кільцевою одиницею в . Таким чином, буде кільцевим гомоморфізмом тоді і тільки тоді, коли дія кільця на , задана відображенням , перетворює у лівий –модуль.

Кожен антигомоморфізм комутативного кільця є гомоморфізмом, так що для цих кілець поняття лівого і правого модулів співпадають.

Збалансовані модулі.

Нехай –кільце і –модуль. Покладемо

і .

Нехай :–природній гомоморфізм, при якому для і . Якщо –ізоморфізм, то говоритимемо, що модуль –збалансований. Говоритимемо, що модуль –твірний (для -модулів), якщо довільний модуль є гомоморфним образом прямої суми модуля з собою. Якщо –твірний, то існує сюр'єктивний гомоморфізм (можемо взяти кінцевим, так як скінченно породжене одним елементом 1).

Теорема 7.2: (Моріта)

Довільний твірний збалансований і скінченно породжений над .

Доведення: (Фейт)

Доведемо спочатку, що для довільного модуля модуль збалансований. Ототожнимо і в з підмодулями і відповідно. Для нехай – відображення, при якому

.

Тоді довільний елемент комутує з , і з кожним . Звідси маємо, що

,

а, отже, збалансований. Нехай – твірний і – сюр'єктивний гомоморфізм. Так як – вільний модуль, то

для деякого модуля , так, що – збалансований. Нехай . Тоді комутує з довільним елементом з (з компонентами ), а, отже, існує деякий , такий, що

.

Звідси випливає, що

,

чим і доведено, що – збалансований, оскільки , очевидно, ін'єктивне.

Щоб довести, що скінченно породжений над , розглянемо ізоморфізми адитивних груп

.

Вони теж будуть ізоморфізмами – модулів, якщо визначити операцію з як композицію відображень (зліва). Так як модуль –ізоморфний відносно відображення , то є – гомоморфним образом модуля , а, отже, скінченно породжений над , а це й доводить теорему.

Приклад:

Нехай –кільце, яке не містить двосторонніх ідеалів, відмінних від 0 і . Якщо –лівий ідеал , то –твірний, так як , а, отже, для придатних елементів . Таким чином теорема є наслідком теореми.

8. Список використаної літератури:

  1. "Алгебра" С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968

  2. "Кольца и модули" Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971

  3. "Кольца(Элементы теории)", Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973

  4. "Алгебра: кольца, модулы и категории" Фейс К., Издательство МИР, 1977

  5. "Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности" Издательство ЛГУ, 1986

  6. "Теория колец", Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Loading...

 
 

Цікаве