WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Якщо ми утворимо елемент , то можна перевірити, що при . Так як довільний елемент , то при всіх маємо . Зокрема, . Множина таких елементів , що , є правим – ідеалом, який позначимо через . Так як при , то і, відповідно В=0, . В силу того, що , ми отримаємо, що при довільному і тому . Таким чином, є і лівою одиницею, тому можемо покласти .

Навпаки, якщо кільце Κ володіє одиницею і структура його лівих – ідеалів цілком звідна, то довільний лівий відмінний від нуля – ідеал має вигляд , де . Дійсно , і, відповідно , де . Тоді . Так як ідеал містить відмінний від нуля ідемпотентний елемент , то він не може бути нільпотентним. Якщо в кільці Κ виконано умову обриву спадних ланцюгів, то з доведеного випливає, що воно напівпросте.

Отже, теорема доведена.

Наслідок3:

Довільний лівий -ідеал напівпростого-кільця є головним і породжується ідемпотентним елементом.

Доведення наслідку випливає з доведення теореми.

Теорема5.3:

Якщо K є напівпростим -кільцем, то існують такі максимальні ліві -ідеали кільця K, що

, .

Дійсно, якщо ... , де ідеали незвідні, то ідеали задовольняють умовам теореми.

Цей результат приводить до цікавої "арифметичної " характеристики радикала, a саме:

Теорема5.4:

Нехай K є -кільцем з одиницею, в якому виконано умови обриву спадних ланцюгів лівих -ідеалів. Тоді радикал R кільця K співпадає з перетином всіх максимальних лівих -ідеалів кільця K.

Доведення:

Оскільки фактор-кільце напівпросте, то для вдало вибраних максимальних лівих -ідеалів кільця K. Тому, якщо є лівим -ідеалом кільця K, який складається з елементів, які відображаються в , то

Група незвідна, і є максимальним лівим -ідеалом. Позначимо перетин всіх максимальних лівих -ідеалів через Ω. Таким чином, доведено, що Ω R. З іншого боку, нехай R є довільним максимальним лівим -ідеалом. Тоді або або . В останньому випадку де i тому Це суперечить максимальності ідеалу R і доводить, що , тобто, що R R. Таким чином, R Ω, і теорема доведена.

Переходимо до основної теореми про напівпрості -кільця. Базуємо доведення на двох фактах:

  1. Kізоморфне до

  2. є сукупністю всіх -ендоморфізмів.

Обидва ці факти є наслідками того, що кільце Kволодіє одиницею. Але, ... , де –незвідні K -групи. буде прямою сумою двосторонніх ідеалів, кожен з яких представляє собою кільце матриць над тілом. Таким чином, отримали, що ... , де є тілами. Але двосторонні ідеали будуть -ідеалами, так як елементи, які належать є результатом множення на елементи з центру кільця K. Якщо є одиницею в кільці , то ендоморфізм, який індукований в ендоморфізмом α, теж буде результатом множення на елемент , який належить центру кільця . Так як , то є –підкільцем кільця K. Цим доведено першу частину структурної теореми:

Теорема5.5:

Довільне напівпросте -кільце є прямою сумою своїх двосторонніх ідеалів, кожен з яких являє собою кільце матриць над -тілом, і навпаки.

Для того, щоб довести другу частину теореми достатньо довести, що кільце матриць над тілом напівпросте. Кільце такого типу буде прямою сумою незвідних лівих ідеалів. Вони є -ідеалами. Звідси випливає, що кільце K напівпросте в силу попередньої теореми.

Наслідок4:

Напівпросте –кільце задовольняє обидві умови обриву ланцюгів для лівих(правих) -ідеалів.

Цей наслідок показує зокрема, що умови, які накладаються у визначенні напівпростого кільця на ліві ідеали, виконуються також і для правих ідеалів. Можемо починати з умов, які накладаються на праві ідеали. Тоді отримаємо, що є прямою сумою кілець матриць над тілами. Тому, кільце обернено ізоморфне кільцю, яке має описану структуру; а так як кільце, яке є обернено ізоморфне кільцю матриць над тілом є також кільцем матриць над тілом, то ми отримуємо , що кільце напівпросте. Довільній теоремі , яка виконується для лівих(правих) ідеалів напівпростого кільця відповідає дуальна теорема про праві(ліві) ідеали. Наприклад, із вищенаведеного наслідку отримуємо, що праві ідеали кільця є головними.

Якщо є простим –кільцем, яке задовольняє умови обриву спадних ланцюгів для лівих –ідеалів, а також кільце не напівпросте, то нільпотентне. Так як є двостороннім –ідеалом, то отримуємо, що . Таким чином, довільний елемент породжує двосторонній ідеал, а, отже, всі кільця , тобто, яким би не був відмінний від нуля елемент , , де через позначено множину елементів вигляду , причому , або , і . Кільце такого вигляду називається -нуль-кільцем. Тому, якщо просте кільце задовольняє умову обриву спадних ланцюгів і не є -нуль-кільцем, то воно напівпросте.

Теорема5.6:

Просте -кільце, в якому виконано умови обриву спадних ланцюгів для лівих -ідеалів, є або -нуль-кільцем, або кільцем матриць над -тілом P, і навпаки. Якщо де –теж тіло, то , і тіла P і ізоморфні.

Відповідні твердження для кілець, які задовольняють умови обриву зростаючих ланцюгів лівих ідеалів, не має змісту. Дійсно, нехай є полем раціональних функцій деякого невідомого над полем характеристики 0 і –кільцем диференціальних поліномів над P, тобто поліномів по t, де αt=tα+, причому є звичайною похідною функції α. K є кільцем головних ідеалів і, звідси випливає, задовольняє умови обриву зростаючих ланцюгів. У K немає власних двосторонніх ідеалів і тому кільце K просте. Так як K не є тілом, то воно немає вигляду , де –тіло.

Теорема5.7:

Структуру двосторонніх -ідеалів напівпростого -кільця цілком звідна. Якщо є розкладами кільця на незвідні двосторонні -ідеали, то , і при підходящому впорядкуванні ідеалів маємо .

Доведення:

Припустимо, що , де є незвідними двосторонніми –ідеалами. Тоді для довільного двостороннього -ідеала кільця буде мати місце розклад , де є двосторонніми -ідеалами кільця . Тому, або , або . Таким чином, , а тому існує двосторонніх ідеалів кільця .

Розглянемо тепер зв'язок між розкладами кільця в пряму суму лівих -ідеалів і пряму суму двосторонніх -ідеалів. Якщо є незвідним лівим -ідеалом, то ми бачили, що міститься в одному з , наприклад, в . Якщо -другий лівий -ідеал і , то і не будуть -ізоморфні, так як для , одиниці кільця , ми маємо , тоді як . Таким чином, якщо є об'єднанням всіх незвідних лівих -ідеалів, -ізоморфних з , то . Покажемо, що буде двостороннім ідеалом. Дійсно, якщо , то , де містяться у незвідних ізоморфних з -ідеалах . Тоді для довільного елемента ідеал , або рівний нулю, або –ізоморфний ідеалу . Тому і , а тому є як правим, так і лівим ідеалом. Так як ідеал незвідний, то .

Теорема5.8:

Якщо кільце K напівпросте і ... -його розклад на незвідні двосторонні –ідеали, то кожний ідеал є об'єднанням незвідних лівих(правих) –ідеалів, -ізоморфних даному незвідному лівому(правому) –ідеалу.

Наслідок5:

Число t незвідних двосторонніх компонент рівне числу –не ізоморфних(відповідно –неізоморфних) класів лівих(правих) ідеалів.

Для довільного лівого –ідеала J кільця K визначимо як множину таких елементів , що . є правим –ідеалом. Аналогічно для правого –ідеала можемо одержати лівий –ідеал , який складається з таких елементів c, що . Якщо кільце K напівпросте, то можемо вважати, що , і тоді , де . Тоді теж маємо . Покажемо, що . Дійсно, і якщо , то , а тому, . За симетрією маємо . Таким чином, і аналогічно . Відповідності і взаємно обернені і є взаємно-однозначними відображеннями структури лівих –ідеалів на структуру правих –ідеалів, і навпаки. Очевидно, що якщо , то .Цей результат виражається наступною теоремою.

Теорема5.9:

Якщо K є напівпростим кільцем, то відповідність є оберненим ізоморфізмом між структурою лівих –ідеалів і структурою правих –ідеалів кільця K.

Нехай буде центром напівпростого кільця ... . є –підкільцем. Якщо , то , де . Так як , де і , то маємо . Крім того, при . Тому і ... , де . є центром кільця . Дійсно, якщо і , то і, згідно з цим, . Так як , де –тіло, то центр кільця міститься в і тому є полем.

Теорема5.10:

Якщо K є напівпростим –кільцем і ... , де –прості двосторонні ідеали кільця K, то його центр θ буде –кільцем і . , де буде полем.

6.Прості кільця

Лема:

Нехай –кільце і –гомоморфізм кільця , яке розглядається як –модуль, в себе. Тоді існує елемент , такий, що

для всіх .

Loading...

 
 

Цікаве