WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

.

Це показує, що .

Отже, лема доведена.

Теорема щільності узагальнює цю лему на випадок скінченого числа елементів з E замість одного. Для доведення використаємо діагональний метод.

Теорема 4.1: (Джекобсон)

Нехай E–напівпростий модуль над R, , і . Тоді існує елемент , такий, що для .

Доведення:

Нехай –прямий степінь відображення , так, що .

Нехай . Очевидно є не що інше, як кільце матриць з коефіцієнтами в . Так як своєю дією на комутує з елементами з , то безпосередньо видно, що лежить в . Але модуль напівпростий, тому за лемою існує елемент такий, що .

Що і треба було довести.

Наслідок 4.1:

Нехай –скінченновимірний векторний простір над алгебраїчно замкнутим полем і –підалгебра в. Якщо –простий –модуль, то .

Доведення:

Ми стверджуєм, що . У всякому випадку, є тіло , що містить в якості підкільця, і всякий елемент з комутує зі всяким елементом із . Нехай . Тоді –поле. Далі, міститься в як –підпростір і тому скінченно вимірне над . Як наслідок, поле скінченне над , а тому, дорівнює . Так як алгебраїчно замкнуте. Це доводить, що

.

Нехай тепер {}-базис для над і . Згідно теореми щільності, існує елемент , такий, що

для .

Так як дія ендоморфізму визначається його дією на базис, то маємо, що .

Наслідок 4.1 відомий як теорема Бернснайда. Він використовується у наступній ситуації.

Нехай –скінченновимірний векторний простір над полем і –підмоноїд в (мультиплікативний).

Під –інваріантним підпростором в розуміємо такий підпростір , що для всіх . Будемо стверджувати, що простір –простий, якщо він не містить –інваріантних підпросторів, відмінних від 0 і самого , причому . Нехай –підалгебра в , породжена над . Так як була умова, що –моноїд, то складається з лінійних комбінацій

,

де , . Це означає, що підпростір в буде –інваріантним в тому і тільки тому випадку, якщо він –інваріантний. Як наслідок простір тоді і тільки тоді –простий, коли він простий над у тому розумінні, який ми розглядали вище. Тому можна переформулювати теорему Бернсайда наступним чином.

Наслідок 4.2:

Нехай –скінченновимірний векторний простір над алгебраїчно замкнутим полем і –(мультиплікативний) підмоноїд в . Якщо –простий, то .

Навіть і в тих випадках, коли поле не є алгебраїчно замкнутим, можна одержати деякий результат. Нехай взагалі –кільце і –простий –модуль. Як ми бачили, -тіло, яке позначимо через , і –векторний простір над .

Нехай –кільце і – довільний -модуль. Будемо стверджувати, що –точний модуль, якщо задовольняється наступна умова:

Співвідношення , , для всіх спричиняє . В додатках буде векторним простором над полем , і будемо мати кінцевий гомоморфізм в . Тоді стає –модулем, точність якого має місце тоді і тільки тоді, коли цей гомоморфізм ін'єктивний.

Наслідок4. 3: (Теорема Веддерберна)

Нехай –кільце і –простий точний модуль над .Припустимо, що скінченновимірний над . Тоді .

Доведення:

Нехай {}–базис над . Для заданого елемента згідно теореми 1 існує елемент , такий, що при . Як наслідок відображення сюр'єктивне. Припущення, що модуль –точний над спричиняє, що це відображення ін'єктивне.

Наслідок доведено.

5.Напівпрості кільця

Кільце називається напівпростим, якщо і напівпростий як лівий модуль над собою.

Твердження:

Якщо напівпростий, то довільний –модуль напівпростий.

Доведення:

Довільний –модуль є фактор-модулем вільного модуля, а вільний модуль є прямою сумою із собою деяке число раз. Далі можна застосувати таке твердження, що довільний підмодуль і довільний фактор-модуль напівпростого модуля напівпрості.

Довільний лівий ідеал кільця є –модулем; він називається простим, якщо він простий як модуль. Два ідеали називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як модулі.

Розкладемо тепер в пряму суму своїх простих лівих ідеалів та одержимо структурну теорему для .

Нехай така сім'я простих лівих ідеалів, що ніякі два ідеали у ній не ізоморфні і довільний простий лівий ідеал ізоморфний одному з ідеалів цієї сім'ї. Ця сім'я є сім'єю представників для класів простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Лема:

Нехай –простий лівий ідеал і –простий –модуль. Якщо не ізоморфний , то

.

Доведення:

Маємо

,

і є підмодулем в , який рівний відповідно 0 чи . Припустимо, що

.

Нехай елемент такий, що

.

Так як –підмодуль в , то

.

Відображення ідеалу в є гомоморфізмом в , сюр'єктивним , і відповідно відмінним від нуля. Оскільки простий, то цей гомоморфізм повинен бути ізоморфізмом.

Нехай –сума всіх простих лівих ідеалів, які ізоморфні . З леми випливає, що

,

якщо . є лівий ідеал, представляється у вигляді суми

,

так як –сума простих лівих ідеалів. Відповідно для довільного

,

де перше включення є справедливим, оскільки містить одиничний елемент, а останнє – оскільки є лівим ідеалом. Таким чином, є і правим ідеалом, тобто –двосторонній ідеал для будь-якого .

Можемо представити одиничний елемент 1 кільця у вигляді суми

, де .

Ця сума скінченна, майже всі . Нехай візьмемо, що для , так що

.

Нехай . Запишемо

, .

Для маємо

,

а також

.

Крім того

.

Це доводить те, що індексів відмінних від в сумі немає, а також, що –та компонента елемента однозначно визначена як

.

Відповідно сума –пряма, і крім того, є одиничним елементом для , яке згідно цього є кільцем. Так як

для , то бачимо, що в дійсності

є прямим добутком кілець .

Означення5.1:

Кільце називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Отже, структурна теорема для напівпростих кілець таким чином доведена.

Теорема5.1:

Нехай –напівпросте кільце. Існує лише скінченне число не ізоморфних простих лівих ідеалів, наприклад

.

Якщо –сума всіх простих лівих ідеалів, які ізоморфні , то –двосторонній ідеал, який є також і кільцем (з операціями, індукованими ), і кільце ізоморфне прямому добутку . Кожне є простим кільцем. Якщо –його одиничний елемент, то

і , при .

Теорема 5.2:

Нехай – напівпросте кільце і – модуль . Тоді,

причому – підмодуль в , рівний сумі всіх простих підмодулів, які ізоморфні .

Доведення:

Нехай –сума всіх простих підмодулів в , які ізоморфні . Якщо -простий підмодуль в , то

,

і відповідно,

для деякого .

Згідно з попередньою лемою маємо, що . Відповідно є прямою сумою . А також

.

Наслідок 1:

Нехай кільце напівпросте. Тоді довільний простий модуль ізоморфний одному з простих лівих ідеалів .

Наслідок 2:

Просте кільце має з точністю до ізоморфізму тільки один простий модуль.

Обидва ці наслідки безпосередньо випливають з теорем 1 і 2.

Структура напівпростих кілець.

Будемо називати – кільце Κ напівпростим, якщо

  • в ньому виконано умову обриву спадних ланцюгів лівих – ідеалів

  • воно не містить нільпотентних лівих – ідеалів

Якщо Κ є кільцем, яке задовольняє умову обриву спадних ланцюгів лівих – ідеалів, і R– його радикал, то фактор-кільце напівпросте. Дійсно, якщо є нільпотентним лівим – ідеалом кільця , то , де J є лівим – ідеалом кільця K, і при деякому k маємо . Тоді при досить великому s одержимо . Звідси, і . Наступна теорема має фундаментальне значення при визначенні стуктури напівпростих кілець.

Теорема5.3:

Довільне напівпросте – кільце володіє одиницею і структура його лівих – ідеалів цілком звідна. Навпаки, якщо Κ є – кільцем, яке володіє наступними властивостями:

  • Κ володіє одиницею

  • структура його лівих – ідеалів цілком звідна і у ній виконано умову обриву спадних ланцюгів, то кільце Κ напівпросте.

Доведення:

Припустимо, що кільце Κ напівпросте. Спочатку покажемо, що довільний незвідний відмінний від нуля лівий – ідеал J володіє доповненням. Так як , то , де e– ідемпотентний елемент, який міститься в J. Нехай є множиною таких елементів , що . Тоді буде лівим – ідеалом і . Так як , де , , то є доповненням ідеалу J.

Покладемо , . Якщо ідеал не мінімальний, то нехай , де , буде незвідним, відмінним від нуля, лівим ідеалом, який міститься в . Тоді , де є лівим – ідеалом, який складається з таких елементів , що . Звідси випливає, що , де ідеал може бути визначений як сукупність таких елементів , що . Відповідно, , де . Якщо ідеал не є незвідним, то ми повторюємо наші роздуми і отримуєм , де ідеал незвідний, при , і міститься в лівим – ідеалом. Продовжуючи таким чином, ми отримаємо ... , де ідеал незвідний, і при . Отже, ми показали повну звідність структури.

Loading...

 
 

Цікаве