WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Напівпрості і прості кільця - Курсова робота

Курсова робота

на тему:

Напівпрості і прості кільця

Зміст:

  1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

  2. Поняття кільця. Приклади кілець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

  3. Умови, які визначають напівпростоту . . . . . . . . . . . . . . . .6

  4. Теорема щільності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

  5. Напівпрості кільця. Структура напівпростих кілець . . . 13

  6. Прості кільця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  7. Поняття про модуль. Збалансовані модулі. . . . . . . . . . . .29

  8. Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.Вступ.

Математика в самому загальному смислі слова має справу з визначенням і використанням символічних моделей. Математична модель охоплює клас невизначених(абстрактних, символічних) математичних об'єктів і відношення між цими об'єктами .

Математична модель буде відтворювати відповідним чином вибрані сторони фізичної ситуації, якщо можна встановити правила відповідності, що зв'язують специфічні фізичні об'єкти і відношення з визначеними математичними об'єктами і відношеннями.

Визначальні властивості математичних моделей представляють собою більше чи менше безпосередні абстракції фізичних процесів.

Напівпрості і прості кільця являються алгеброю моделей з двома визначальними операціями. В даній курсовій роботі розглянемо, що собою являють напівпрості і прості кільця.

Непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

  1. множина K є адитивною абелевою групою;

  2. множина K є мультиплікативною півгрупою;

  3. операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

a, b, с K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

Кільце R називається напівпростим, якщо 10 і R напівпростий як лівий модуль над собою.

Кільце R називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

  1. Поняття кільця. Приклади кілець.

Означення2.1: непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

  1. множина K є адитивною абелевою групою;

  2. множина K є мультиплікативною півгрупою;

  3. операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

a, b, с K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

Група є адитивною відносно операції додавання. Відносно операції множення група є мультиплікативною.

Означення2.2: кільце, в якому для будь-якого ненульового елемента a існує обернений називається тілом.

Означення2.3: тіло, в якому операція множення комутативна, називається полем.

Означення2.4: якщо операція множення, визначена в групі, є комутативною, то група називається комутативною або абелевою.

Означення2.5: кільця K і називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємнооднозначну відповідність, що для будь-яких елементівa, b K і відповідних їм елементів , сумі a+b відповідає сума+, добутку ab відповідає добуток .

Приклади кілець:

  1. Множина Z цілих чисел.

  2. Множина Q раціональних чисел.

  3. Множина R дійсних чисел.

  4. Множина C комплексних чисел.

  5. Нульове кільце, яке містить лише елемент 0.

  6. Множина парних чисел і взагалі множина цілих чисел, які кратні деякому числу m.

  7. Множина цілих комплексних чисел, тобто чисел a+bi, де a та b цілі числа.

  8. Множина дійсних чисел a+bі взагалі множина дійсних чисел a+b, де a, bZ, а k- натуральне число, яке не є повним квадратом. Множина натуральних чисел, а також множина додатніх раціональних чисел кільцями не є, так як для елементів цих множин нема протилежних, в цих множинах немає також нульового елемента.

  9. Всі многочлени з одним чи кількома змінними та коефіцієнтами з деякого кільця R. При цьому за операції додавання та множення приймаються звичайні дії над многочленами, які зводяться до додавання та множення коефіцієнтів многочленів.

  10. Асоціативне, але не комутативне, кільце утворюють всі квадратні матриці порядку n (де n) з дійсними елементами, якщо додавати і множити їх звичайним чином. Елементи можна було б взяти навіть з довільного асоціативного кільця K . Побудова кільця називається повним кільцем матриць порядку nнад кільцем K і позначається так .

  11. Пари (a,b) цілих чисел утворюють кільце, якщо операції визначені за формулами

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)(c,d)=(ac,bd)

3.Умови, які визначають напівпростоту

Нехай –кільце. Якщо спеціально не обумовлюється протилежне, то припускають, що всі модулі і всі гомоморфізми є –модулями і –гомоморфізмами.

Наступні умови на модуль еквівалентні:

ПП1 –сума деякої сім'ї простих підмодулів.

ПП2 –пряма сума деякої сім'ї простих підмодулів.

ПП3 Довільний підмодуль в є прямим доданком, тобто існує підмодуль , такий, що .

Доведемо це.

Лема:

Нехай –сума (необов'язково пряма) простих підмодулів. Тоді існує підмножина , така, що –пряма сума .

Доведення:

Нехай –максимальна підмножина в , така, що сума пряма. Стверджуємо, що ця сума в дійсності рівна . Досить довести, що кожне належить до цієї суми. Але, перетин суми з є підмодулем в і, як наслідок, дорівнює 0 або . Якщо він дорівнює нулю, то підмножина не максимальна, оскільки можемо приєднати до неї . Як наслідок, належить сумі, і лема доведена.

Лема показує, що ПП1 спричиняє ПП2. Щоб впевнетись, що ПП2 спричиняє ПП3, візьмемо підмодуль і максимальну підмножину в , таку, що сума –пряма . Ті самі роздуми, що і вище, показують, що ця сума дорівнює .

Щоб довести, що ПП3 спричиняє ПП1, доведемо спочатку, що всякий ненульовий підмодуль в містить деякий простий підмодуль. Нехай –ненульовий підмодуль і , . Тоді за означенням –головний підмодуль і ядро гомоморфізму є лівим ідеалом . Як наслідок, міститься в максимальному лівому ідеалі (за лемою Цорна). Тоді є максимальний підмодуль в (не рівний ) і, як наслідок, - максимальний підмодуль в , не рівний і відповідний при ізоморфізмі .

Можна записати

для деякого підмодуля .

Тоді

,

оскільки всякий елемент може бути однозначно записаний у вигляді суми

,

де , , причому, очевидно, лежить в . Так як найбільший в , то модуль простий.

Отже, лему доведено.

Нехай –підмодуль в і є сумою всіх простих підмодулів модуля . Якщо , то

,

де , а тому існує простий підмодуль в всупереч визначенню . Це доводить, що ПП3 спричиняє ПП1.

Модуль , який задовольняє нашим трьом умовам, називається напівпрстим.

Твердження:

Всякий підмодуль і всякий фактор-модуль напівпростого модуля напівпрості.

Доведення:

Нехай –підмодуль і – сума всіх простих підмодулів в . Запишемо

.

Всякий елемент з має єдине представлення

,

де і .

Але,

.

Як наслідок, є пряма сума

.

Звідки видно, що співпадає з , який тим самим напівпростий. Що стосується фактор-модуля, то запишемо

.

Тоді є сума своїх простих підмодулів і канонічне відображення індукує ізоморфізм на . Як наслідок, модуль напівпростий.

4.Теорема щільності

Теорема щільності:

НехайE- напівпростий R – модуль. Позначимо через Kкільце . Тоді Eбуде також K- модулем, причому дія Kна Eзадається відображенням

де і . Будь-який елемент aза допомогою відображення =axіндукує K–гомоморфізм . Але якраз це і означає умова

.

Таким чином, одержуємо гомоморфізм кілець .

Виникає питання, на скільки великий образ цього гомоморфізму. Теорема щільності стверджує, що він вельми великий.

Лема:

Нехай E–напівпростий модуль над R, , , . Існує елемент , такий, що .

Доведення:

Так як E напівпростий, то має місце розклад в R–пряму суму

для деякого підмодуля F. Нехай –проекція. Тоді і, як наслідок,

Loading...

 
 

Цікаве