WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа(пошукова робота) - Реферат

Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.
1. Комплексні числа
1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа
Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від'ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від'ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від'ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.
Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював -1. Позначивши його через , одержимо . Звідси . Величина називається умовною одиницею. Сам термін "уявне число" виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :
де - ціле додатне число.
Числа вигляду , де - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду - комплексними, де i - дійсні числа.
Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу - дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною , а на уявній - відрізок довжиною , можна побудувати точку (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При маємо зображення дійсного числа на осі (дійсна вісь), а при маємо зображення чисто уявного числа на осі (уявна вісь). Площина називається комплексною. Кожній точці на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу відповідає одна й тільки одна точка комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор
Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.
Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа і рівні тоді і тільки тоді, коли і . Звідси, як
Рис.8.1 наслідок, маємо ,
якщо і . Поняття "більше" (>), "менше" (<) для комплексних чисел не введено.
Приклад. За яких умов комплексні числа і рівні?
Р о з в ' я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:
Розв'язавши цю систему рівнянь, знаходимо і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і 2) .
Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел і називається число , а їх різниця запишеться так: .
Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів (рис.8.2).
б). Множення двох комплексних чисел і здійснюється так само, як і множення двочленів:
Числа вигляду і називаються комплексно
Рис.8.2
спряженими. Їх добуток є дійсне число
в). Ділення. Нехай потрібно число поділити на число , тобто
Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.
г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів за формулами:
, де ціле додатне число.
д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.
Приклад. Добути квадратний корінь із числа .
Р о з в ' я з о к. Нехай
Тоді , де і - дійсні числа. Звідси
Розв'язавши цю систему рівнянь , одержимо
Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.
Приклади.
10.
20.
30.
40.
50.
1.2. Тригонометрична форма комплексного числа
Сполучимо початок координат з точкою . Довжина цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -
.
Проекції відрізка на осі і відповідно дорівнюють і . Тому
(8.1)
Враховуючи формули (8.1), одержимо:
Отже,
. (8.2)
Запис комплексного числа у вигляді називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.
Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:
Маємо:
Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.
а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.
б).Множення.
(8.3)
Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються.
в). Ділення.
(8.4)
тобто при діленні модуль діленого ділиться на модуль дільника, аргумент дільника віднімається від
Loading...

 
 

Цікаве