WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей. - Реферат

Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей. - Реферат

Реферат на тему:

Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей.

Мета Формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: sin t > a, sin t < а, cos t > a, cos t < a

Нерівність називається тригонометричною, якщо вона містить змінну тільки під знаком тригонометричної функції. Наприклад, sin 3х>1, cosх+tgx<1 — тригонометричні нерівності, Розв'язати тригонометричну нерівність означає знайти множину значень змінної, при яких нерівність виконується.

Розв'язування тригонометричних нерівностей зводиться до розв'язування нерівностей:

sin x > a, sin x < a, sin xa, sin xа,

cos х > a, cos х< a, cos ха, cos хa.

tg x > a, tg x < a, tg xa, tg xа.

які називаються найпростішими. Отже, мета сьогоднішньою уроку — навчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності, використовуючи одиничне коло. Розглянемо приклади.

1. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання

Будуємо одиничне коло (рис. 1) та пряму , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Знаходимо на одиничному колі точки, значення координат які не менші .

рис.1.

Цими точками є точки дуги АСВ, де Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку . Враховуючи, що період функції sin t дорівнює 2π, маємо розв'язок даної нерівності

Відповідь:

2. Poзв'язати нерівність

Розв'язання

Будуємо одиничне коло (рис.2) та пряму , яка перетинає одиничне коло в точках А і В.

рис.2.

Точки дуги А і В мають значення у, не більші за , де Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t з проміжку . Враховуючи періодичність маємо: .

Відповідь:

3. Розв'язати нерівність .

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло (рис. 3) та пряму , яка перетинає одиничне коло в точках А і В. Точки одиничного кола, абсциси яких більші за , лежать на дузі АР0В, де Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку .

рис.3.

Враховуючи періодичність, маємо:

Відповідь:

4. Розв'язати нерівність .

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло (рис.4) та пряму , яка перетинає одиничне коло в точках А і Б.

рис.4.

Точки одиничного кола, абсциси яких менші за , лежать на дузі АСВ де . Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t з проміжку . Враховуючи періодичність, маємо:

Відповідь:

Формування умінь розв'язувати найпростіші нерівності.

1. Розв'яжіть нерівності:

a). б).

в). г).

Відповідь: а). б).

в). г).

2. Розв'яжіть нерівність:

а). б).

в). г).

Відповідь: а). б).

в). г).

Тема: Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей.

Мета: Формування умінь учнів розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності: tg t>a, tg t<a, ctg t<a, ctg t>a, ()

рис.5.

1). Яка дуга відповідає нерівностям:

sin t > a; cos t > b; sin t > -a;

cos t > -b; sin t < a, cos t < b,

sin t < -a, sin t < -b?

2) Розв'язком якої нерівності є дуга

AmB; AkD; CpD; CnB?

3) Розв'яжіть нерівності:

Сприймання і усвідомлення розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей.

На сьогоднішньому уроці ми продовжимо вчитися розв'язувати найпростіші тригонометричні нерівності.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання

Побудуємо одиничне коло та лінію тангенсів (рис.6). На осі тангенсів позначимо число 1. Якщо t є розв'язком нерівності, то ордината точки Т, рівна tg t, повинна бути не більша 1. Множина таких точок T — промінь AT. Множина точок Pt, що відповідають точкам променя AT, — дуга яка на рисунку виділена. (Зверніть увагу: точка належить, а точка не належить множині розв'язків).

рис.6.

Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку Враховуючи, що період функції tg t дорівнює π, маємо розв'язок даної нерівності

Відповідь: , де .

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання

На осі тангенсів (рис. 7) позначимо число і множину значень тангенсів, не менших за (промінь AT). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, тангенс яких не менший від , є дуга Отже, розв'язком нерівності будуть усі значення t із проміжку

рис.7.

Враховуючи періодичність, маємо: де .

Відповідь: , де n є Z.

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність

Розв'язання

1 спосіб. Враховуючи, що маємо тоді маємо нерівність , або

рис.8.

Розв'яжемо останню нерівність (рис. 8), маємо:

Відповідь: де

2 спосіб. На осі котангенсів позначимо число і множину (рис. 9) значень котангенсів, не менших за (промінь AQ). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, котангенс яких не менший від , є дуга . Отже, розв'язки нерівності будуть усі значення t із проміжку

рис.9

Враховуючу періодичність, маємо: , де .

Відповідь: , де .

III. Формування умінь розв'язувати найпростіші нерівності.

1. Розв'яжіть нерівності:

a) б)

в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ; в); г) .

Тема: Розв'язування тригонометричних нерівностей.

Мета: Формування умінь учнів розв'язувати тригонометричні нерівності.

1) Які дуги відповідають нерівностям:

tg t > a, tg t < a, tg t > -a, tg t < -a?

рис.10.

2) Нехай Запишіть у вигляді нерівності дугу, яка відповідає нерівності:

3) Розв'яжіть нерівності:

II. Формування умінь розв'язувати тригонометричні нерівності.

1. Розв'яжіть нерівності:

а). б).

в). г).

Відповідь: a). б).

в). г).

2. Розв'яжіть нерівності: .'

a). б).

в). г).

Відповідь: а) б).

в). г).

II. Самостійна робота.

Варіант 1

Розв'яжіть нерівності:

a) 2sin x < -1. (4 бали) б) (4 бали)

в) (4 бали)

Варіант 2

Розв'яжіть нерівності:

a) (4 бали) б) (4 бали)

в) (4 бали)

Відповідь: В-1: а). б).

в).

B-2: a) B-2: a)

б). в).

IV. Узагальнення відомостей про розв'язання тригонометричних нерівностей.

Питання до студентів

1. При яких значеннях а має розв'язки нерівність

a) sin t > а; б) sin t < а?

2. При яких значеннях b має розв'язки нерівність

a) cos t > b; б) sin t < b?

3. Як знайти розв'язки нерівностей

a) sin t > а; б) sin t < а; в) cos t > b; г) cos t < b?

4. Як знайти розв'язки нерівностей

a) tg t > а; б) tg t < а; в) ctg t > b; г) ctg t < b?

Таблиця 1

Тригонометричні нерівності

a< -1

- 1<а<1

a > 1

sin t > a

розв'язків немає

sin t < a

не має розв'язків

b < -1

b > 1

cos t > b

не має розв'язків

cos t < b

не має розв'язків

tg t > a

tg t < a

ctg t > b

ctg t < b

Домашнє завдання:

а). б).

в).

Loading...

 
 

Цікаве