WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Рівняння в повних диференціалах - Реферат

Рівняння в повних диференціалах - Реферат

Реферат на тему:

Рівняння в повних диференціалах

1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції , тобто

,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо

Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

,

то можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з'єднує фіксовану точку і точку із змінними координатами . Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла

В цьому випадку одразу одержуємо розв'язок задачі Коші.

.

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність

,

або

.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції. Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію , наприклад де - відома функція. В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

,

або

.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

.

2) Нехай . Тоді

І формула має вигляд

3) Нехай .Тоді

І формула має вигляд

.

4) Нехай. Тоді

І формула має вигляд

.

3. Вправи для самостійної роботи

Як вже було сказано, рівняння буде рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина є повним диференціалом деякої функції. Це має місце при .

Приклад 1.4.1. Розв'язати рівняння

.

Розв'язок. Перевіримо, що це рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Обчислимо

.

Таким чином існує функція , що . Проінтегруємо по . Отримаємо

.

Для знаходження функції візьмемо похідну від по і прирівняємо до . Отримаємо

.

Звідси і . Таким чином, і загальний інтеграл диференціального рівняння має вигляд .

Перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах, і розв'язати їх:

1.4.2 ;

1.4.3 ;

1.4.4 ;

1.4.5 ;

1.4.6 ;

1.4.7 ;

1.4.8 ;

1.4.9 ;

1.4.10 ;

1.4.11 ;

1.4.12 ;

1.4.13 ;

Розв'язати, використовуючи інтегруючий множник

1.4.14 ;

1.4.15 ;

1.4.16 ;

1.4.17 ;

1.4.18 .

Loading...

 
 

Цікаве