WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв'язування текстових задач за допомогою нерівностей - Реферат

Розв'язування текстових задач за допомогою нерівностей - Реферат

Розв'язання.

Нехай , і u – швидкість катера, байдарки (в стоячій воді) і річки відповідно, =2, s – відстань між пунктами А і В. Тоді отримаємо наступну таблицю:

Умова задачі

Рівняння, нерівність

  • Байдарка знаходилась в дорозі 10 год

  • На зворотному шляху із В в А катер зустрів байдарку не пізніше 15 год того ж дня

  • Катер прибув назад в пункт А не раніше 23 год того ж дня

  • Катер може пливти проти течії

(1)

(2)

(3)

(4)

Пояснимо, як була складена нерівність (2) системи. Нехай t – час (в год), який пройшов з початку руху до зустрічі катера і байдарки. Тоді

Де – час руху катера вниз по річці із А в В. Знайшовши час t із отриманого рівняння, ми приходимо до лівої частини нерівності (2).

Знайдемо рішення системи нерівностей (1) – (4). Розділивши чисельник і знаменник кожного із дробів в лівій частині (2) і (3) на і враховуючи рівність (1), отримаємо

і

Отримані нерівності можна записати у наступній формі:

і

Звідси видно, що ця система нерівностей буде виконуватися, якщо =2, тобто = 2. Тоді із рівняння (1) отримаємо

В задачі необхідно знайти час прибуття катера в пункт В.

Шукаємо

Відповідь: Катер припливе в пункт В о 13 год.

  1. В шкільній газеті повідомляється, що відсоток учнів деякого класу, котрі підвищили в другому семестрі успішність, знаходиться в межах від 2,9% до 3,1%. Визначити мінімально можливе число учнів в такому класі.

Розв'язання.

Нехай n – число учнів в тому класі про який повідомляється в газеті, m – число учнів цього класу, котрі підвищили успішність. Тоді відсоток учнів, котрі підвищили успішність дорівнює . З умови задачі слідує

Із нерівності (1) слідує, що (тобто m ≥ 1) і що Оскільки очевидно, що то Отже, в класі, про який повідомляється в газеті, учнів не менше, чим 33. Тепер потрібно вияснити, яке мінімальне число учнів все-таки може бути в класі. Легко помітити, що якщо в класі буде 33 учня і один з них підвищить успішність, тобто якщо n = 33 і m= 1, то така пара чисел задовольняє нерівність(1). Отже, в класі, про який повідомляється в газеті, мінімально можливе число учнів 33.

Відповідь: 33

  1. Вантаж спочатку завантажили у вагони місткістю по 80 тонн, але один вагон виявився заповнений не повністю. Тоді весь вантаж переклали у вагони місткістю по 60 тонн, проте знадобилося на вісім вагонів більше і при цьому все одно один вагон залишився не повністю завантаженим. Врешті решт, вантаж переклали у вагони місткістю по 50 тонн, проте знадобилося ще на 5 вагонів більше, при цьому всі такі вагони були завантажені повністю. Скільки було тонн вантажу?

Розв'язання.

Позначимо через n кількість вагонів місткістю 50 тонн, в котрі був завантажений весь вантаж. Тоді маса вантажу рівна 50nтонн.

Вагонів місткістю 60 тонн було використано n – 5. Так як в них було поміщено весь вантаж и один вагон виявився не повністю заповненим, то

60(n – 5) > 50n і 60(n– 6) < 50n.

З цих нерівностей слідує, що 300 < 10n< 360 або 30 < n< 36. Оскільки n – ціле число, то

31≤ n≤ 35. (1)

Вагонів місткістю 80 тонн під час завантаження було використано n – 13. Аналогічно попередньому отримуємо, що 80(n – 13) > 50nі 80(n – 14) < 50nабо Так як а n – ціле число, то

35≤ n≤ 37. (2)

Із (1) і (2) тепер слідує, що n= 35. Отже, маса вантажу дорівнює 50∙35 = 1750 тонн.

Відповідь: 1750 т.

  1. Є три сплави. Перший сплав містить у собі 30% нікелю і 70% міді, другий – 10% міді і 90% марганцю, третій – 15% нікелю, 25% міді і 60% марганцю. З них необхідно приготувати новий сплав, який містить у собі 40% марганцю. Який найменший і який найбільший відсотковий вміст міді може бути в новому сплаві?

Розв'язання.

Нехай для приготування сплаву, котрий містить у собі 40% марганцю, взяли х кг першого сплаву, y кг другого сплаву і z кг третього сплаву. При цьому отримаємо (х + y +z) кг нового сплаву, в якому буде (0,9y+ 0,6z) кг марганцю, тому

0,9y+ 0,6z= 0,4(х + y +z)

або

4х = 5y + 2z. (1)

В новому сплаві буде кг міді, а в одному кілограмі нового сплаву буде міді

Із (1) слідує, що і тому Оскільки для приготування нового сплаву можна брати будь-яке число кілограмів першого, другого і третього сплавів, то yіz можуть приймати будь-які не від'ємні значення, причому yіz одночасно не можуть дорівнювати нулю. Якщо y= 0, z≠ 0, то якщо y≠ 0 і z = 0, то Якщо y≠ 0, z ≠ 0, то

Оскільки то легко помітити, що в цьому випадку будуть справедливі нерівності

Отже, найменший відсотковий вміст міді може дорівнювати а найбільший відсотковий вміст міді може бути рівний

Відповідь: 40%;

  1. На прямій дорозі розміщені послідовно пункти А, В, С, D. Відстані від пункту А до пунктів В, С і D відносяться як 1 : 2 : 4. В напрямку від А до D по дорозі через рівні проміжки часу з однієї і тією ж швидкістю їдуть автобуси. Із А в D вийшли в різний час три пішохода і пішли по дорозі з однією і тією ж швидкістю. Першого пішохода після виходу із пункту А и до приходу в пункт В обігнали 3 автобуси. Другого пішохода після виходу з пункту А і до приходу в пункт С обігнали 4 автобуси; відомо, що коли він виходив із пункту А, через пункт А не проїжджав подальший автобус. Третій пішохід вийшов із А і прибув в D, коли через ці пункти проїжджали подальші автобуси. Скільки автобусів обігнали третього пішохода на шляху між А і D?

Розв'язання.

Так як автобуси їдуть з однієї і тою ж швидкістю через рівні проміжки часу, і пішоходи ідуть з однієї і тою ж швидкістю, то від моменту обгону будь-якого пішохода k-м автобусом до моменту обгону його (k +1)-м автобусом проходить один і той же час. Позначимо його через t хвилин. Позначимо через nкількість автобусів, які обігнали третього пішохода після виходу із пункту А і до приходу в пункт D. Тоді час, затрачений третім пішоходом на весь шлях від А до D, дорівнює (n+ 1)tхвилин.

Швидкості пішоходів рівні, тому пішоходи пройдуть шлях АВ за час, рівний хвилин, а шлях АС за час, рівний хвилин. Так як останній з трьох автобусів наздогнав першого пішохода раніше пункту В, то на шлях АВ перший пішохід затратив більше 2t хвилин, тобто звідки n>7.

До першої зустрічі з автобусом другий пішохід ішов менше tхвилин і в момент цієї зустрічі йому залишилось іти до пункту С не більше 4tхвилин (інакше другого пішохода на шляху між А і С обженуть ще чотири, а всього, слідом 5 автобусів). Тому звідки n < 9. Із нерівності 7 < n< 9 слідує, що n= 8.

Відповідь: 8 автобусів.

Loading...

 
 

Цікаве