WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Розв'язування текстових задач за допомогою нерівностей - Реферат

Розв'язування текстових задач за допомогою нерівностей - Реферат

Реферат

1. В двох ящиках знаходиться більше 29 однакових деталей. Число деталей у першому ящику, зменшилося на 2, більше чим в 3 рази перевищує число деталей у другому ящику. Потроєне число деталей в першому ящику перевищує подвоєне число деталей у другому ящику, але не більше, чим на 60. Скільки деталей у кожному ящику?

Розв'язання.

Позначимо через x число деталей в першому ящику, а через y– число деталей у другому ящику. Тоді згідно умови має місце система нерівностей:

Перепишемо дану систему у вигляді

(1)

Звідси слідує, що справедливі нерівності

(2)

(3)

Нерівність (2) можна переписати у вигляді y> 27/5, а нерівність (3) – у вигляді y<54/7. Так як

і y – натуральне число, то yдорівнює або 6, або 7. Якщоyдорівнює 6, то система нерівностей (1) перепишеться у вигляді

Ясна річ, що не існує натуральних чисел x, котрі задовольнили її. Отже, y = 7. Тоді система (1)

перепишеться у вигляді

Звідки випливає, що існує єдине натуральне число x= 24, яке задовольняє її. Отже, в першому ящику 24 деталі, а в другому 7 деталей.

Відповідь: В першому ящику 24 деталі, а в другому 7 деталей.

  1. Двом бригадам, загальною чисельністю 18 чоловік, було доручено організувати протягом трьох діб неперервне цілодобове чергування по одній людині. Перші дві доби чергували члени першої бригади, розділивши між собою цей час порівну. Відомо, що у другій бригаді три дівчини, а інші хлопчики, причому дівчата чергували по одній годинні, а всі хлопці розділили між собою залишок чергування порівну. Підчас підрахунку виявилося, що сума тривалості чергувань кожного хлопчика із другої бригади і будь-кого з першої бригади менша дев'яти годин. Скільки людей у кожній бригаді?

Розв'язання.

Позначимо через xчисло членів в першій бригаді; тоді у другій бригаді було (18-x) людей, причому з них (15-x) хлопчиків. Тривалість чергування будь-кого з першої бригади рівна годин, а тривалість чергування кожного хлопчика другої бригади рівна годин. З умови задачі

Зробивши очевидні перетворення, перепишемо цю нерівність так:

Рішаючи останню нерівність методом інтервалів, отримаємо, що вона задовольнятиметься для x із проміжків і . Так як x (число членів бригади) – ціле додатне число і так як із умови слідує, що x< 15, то умові задачі задовольняє лише одне число: x= 9.

Відповідь: В бригаді було по 9 чоловік.

  1. Школяр переклеює всі свої марки в новий альбом. Якщо він наклеїть по 20 марок на один лист, то йому не хватить альбому, а якщо по 23 марки на лист, то в крайній мірі один лист буде пустим. Якщо школяру подарувати такий альбом, на кожному листі, якого наклеєно по 21 марки, то всього у нього стане 500 марок. Скільки листів у альбомі?

Умова задачі

Рівняння, нерівність

  • Якщо школяр наклеїть по 20 марок на лист, то йому не хватить альбому.

  • Якщо школяр наклеїть по 23 марки на один лист, то в крайній мірі один лист виявиться пустим.

  • Якщо школяру подарувати такий самий альбом, в якому на кожному листі по 21 марці, то всього у нього буде 500 марок.

20m < N

23(m-1) ≥ N

21m+N = 500

Розв'язання.

Нехай в альбомі mлистів, а в школяра є Nмарок. Тоді рівняння і нерівності цієї задачі складаються наступним чином.

Таким чином, в даній задачі є одне рівняння і дві нерівності. Виразимо Nз рівняння цієї системи і підставимо його в кожну із нерівностей:

20m<500 – 21 m,

23(m – 1) ≥ 500 - 21 m.

Враховуючи, що m– ціле число, з першої нерівності цієї системи знаходимо, що m12, а з другої нерівності – що m≥ 12.

Порівнюючи між собою ці результати, отримаємо m = 12.

Відповідь: В альбомі 12 листів.

  1. Із пункту А до В виходить автобус о 7 год і одночасно з ним із пункту В до А виходять легковий автомобіль і мотоцикл, причому швидкість легкового автомобіля в 2 рази більша від швидкості мотоцикла. Автобус зустрічає легковий автомобіль не раніше 9 год 30 хв і прибуває до В о 12 год 50 хв того ж дня. Знайти час прибуття мотоцикла в пункт А , коли відомо, що між моментами зустрічей автобуса з легковим автомобілем і автобуса з мотоциклом проходить не менше години.

Розв'язання.

Відстань між пунктами А і В позначимо - S , швидкість автобуса - , легкового автомобіля - , мотоцикла - ; за умовою = 2. Тоді - час, що минає від початку руху до зустрічі автобуса і легкового автомобіля; - час, що минає від початку руху до зустрічі автобуса і мотоцикла.

Рівняння і нерівності задачі запишемо в таблицю.

Умова задачі

Рівняння, нерівність

  • Автобус прибув до пункту В о 12 год 50 хв, тобто через 5 год 50 хв.

  • Автобус зустрівся з легковим автомобілем не раніше 9 год 30 хв, тобто не менше, ніж через 2 год 30 хв від початку руху.

  • Між моментами зустрічей автобуса з легковим автомобілем і автобуса з мотоциклом минає не менше години

(1)

(2)

(3)

Нерівності (2) і (3) запишемо у вигляді:

Підставимо в ці нерівності значення і виконаємо перетворення. Матимемо систему нерівностей:

або

Потрібно знайти час прибуття мотоцикла до пункту А, тобто

Отже, мотоцикл був у дорозі 8 год 45 хв і прибув до пункту А о 15 год 45 хв.

Відповідь: Мотоцикл прибув до пункту А о 15 год 45 хв.

  1. Пункт А стоїть в полі на відстані 8 км від дороги. На дорозі, яка є прямою лінією, стоїть пункт В. Швидкість руху автомобіля по дорозі в два рази більша, чим по полю. Відомо, що якщо їхати із А в В так, що частина шляху пройде по дорозі, то навіть при найбільш вдалому виборі шляху руху на це піде не менше часу, чим потрібно буде, якщо їхати прямо по полю. Найти максимально можливу відстань між А і В.

Розв'язання.

Позначимо відстань від А до В через s. Відстань AD від пункту А до дороги з умови задачі рівна 8 км.

Нехай С – точка, в якій автомобіль виїжджає з поля на дорогу. При цьому достатньо обмежитись розглядом тільки прямолінійних ділянок АС по полю, оскільки будь-який криволінійний шлях від А до С довший відрізка АС і , значить, потрібно більше часу для його подолання. Аналогічно точку С можна вважати, що вона лежить між точками В і D.

Якщо позначити швидкість руху автомобіля по полю через v , то згідно умови задачі матимемо таку нерівність

або

яка виконується при будь-яких значеннях СВ.

Позначимо СВ = x. Тоді і Підставляючи СВ і АС в вище написану нерівність, отримаємо

Потрібно знайти s, при якому отримана нерівність буде виконуватися при будь-яких значеннях x.

Перепишемо нерівність у вигляді

Оскільки >0, то можна піднести обидві частини нерівності до квадрату, після чого отримаємо квадратичну нерівність відносно x

Ця нерівність повинна виконуватися тотожно, тобто при всіх значеннях величини x, яка визначає положення точки С, в якій автомобіль виїжджає з поля на дорогу.

Квадратична функція в лівій частині отриманої нерівності має два корені: і Для того, щоб нерівність виконалась при всіх , необхідно і достатньо, щоб другий корінь не був позитивний, тобто

або

звідки слідує, що

Таким чином, максимально можлива відстань між пунктами А і В становить км.

Відповідь: км.

  1. О 7 год ранку із пункту А в пункт В по течії річки відправляються байдарка і катер. Байдарка припливає в пункт В о 17 год того ж дня. Катер, добравшись до пункту В, миттєво повертає назад і на своєму шляху із В в А зустрічає байдарку не пізніше 15 год, а прибуває в пункт А не раніше 23 год того ж дня. Знайти час прибуття катера в пункт В, якщо відомо, що власна швидкість катера в два рази більша швидкості байдарки.

Loading...

 
 

Цікаве