WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Опуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів - Реферат

Опуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів - Реферат

Міністерство освіти і науки України

Київський державний торговельно-економічний університет

Коломийський економіко-правовий коледж

Реферат

З дисципліни „Вища математика"

Розділ: 4 „Функції багатьох змінних"

На тему:

Опуклість та гнучкість функції. Екстремуми функції. Необхідна та достатні умови екстремуму. Метод найменших квадратів"

Виконала:

Студентка групи Б-13

Комар Ірина

Перевірив

Викладач

Лугова Л.Б.

Коломия 2003

План

  • Найбільше та найменше значення функцій у заданій області.

    Контрольні запитання

  • Що називається екстремумом функції.

  • Яка необхідна умова екстремуму функції.

  • Яка точка називається стаціонарною.

  • Які достатні умови екстремуму функції

    Література

  • Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр „Академія", 2002. – 432с.

    Означення. Нехай функція f(x;y) визначена в деякому околі точки(a,b).Точка(a,b)називається точкою мінімуму (максимумом) цієї функції в точці (a;b), якщо існує такий окіл точки (a;b), що для всіх точок (x;y) з цього околу, відмінних від точки (a;b), виконується нерівність f(a;b)

    Точки мінімуму і максимуму функції називають її точками екстрему, а максимум та мінімум функції в точці – її екстремумом у цій точці.

    Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо точка (a;b) є точкою екстремуму функції f (x;y) і якщо в цій точці існують частинні похідні функції по змінних x та y, то ці похідні дорівнюють 0: , .

    Доведемо, наприклад, що . Для доведення зафіксуємо значення змінної y, поклавши y=b. Дістанемо функцію z=f(x,b) однієї змінної х, що має в точці х=а екстремум і похідну, яка є частиною похідної . Згідно з теоремою Тейлора ця похідна функції однієї змінної дорівнює 0. Таким чином, . Рівність встановлюється аналогічно.

    Точка простору R2, в якій існують обидві частинні похідні якоїсь функції двох змінних, кожна з яких дорівнює нулю, називається стаціонарною для цієї функції.

    Теорема стверджує, що всі точки екстремуму функції двох змінних, яка має частинні похідні по обох змінних в деякій області простору R2, утворюють підмножину множини її стаціонарних точок.

    Теорема (достатні умови екстремуму). Нехай функція f (x;y) в деякому околі своєї стаціонарної точки (a;b) має неперервні в цій частині похідні другого порядку.

    Якщо , то точка (a;b) є точкою екстремуму функції f (x;y), при чому точкою мінімуму, якщо , і точкою максимуму, якщо . Якщо ж , то точка (a;b) не є точкою екстремуму функції f (x;y)

    Приклад:

    Дослідити на екстремум функції .

    Ця функція визначена і має неперервні всі частини похідні першого та другого порядків в R2. Її частинні похідні першого порядку мають вигляд.

    Стаціонарні точки функції визначаємо з системи

    , яка рівносильна системі

    Отже, досліджувана функція має чотири стаціонарні точки: (-2;1), (2;-1), (-2;-1),(2;1). Знаходимо частинні похідні другого порядку:

    .

    Обчисливши значення

    Дістанемо

    Таким чином, точки (-2;-1),(2;1) є точками екстремуму заданої функції. Оскільки точка (-2;-1) є точкою максимуму функції , а точка (2;1) – точкою мінімуму. Залишилося знайти екстремуми: максимум функції f (x;y) у точці (-2;-1) становить f (-2,-1)=21, а мінімум у точці (2;1) – f (2,1)=-19

  • Loading...

     
     

    Цікаве