WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Дослідження операцій. Характеристики вхідного потоку вимог. Розподіли вірогідностей для тривалостей обслуговування - Реферат

Дослідження операцій. Характеристики вхідного потоку вимог. Розподіли вірогідностей для тривалостей обслуговування - Реферат

(5) Далі, для n = 1 одержуємо: . (6) Підставляючи сюди і спрощуючи отриманий вираз, маємо: . (7) Використовуючи індукцію, приходимо до виразу: , n=1, 2, … (8) Значення визначається із рівняння . Такий процес є процесом загибелі та народження, оскільки об'єднує в собі ці два процеси і описує функціонування СМО. 2. Одноканальна модель з пуасонівським вхідним потоком і експоненційним розподілом тривалостей обслуговування. Найпростішого одноканальною моделлю з вірогіднісним вхідним потоком і процедурою обслуговування є модель, що характеризується показниковим розподілом як тривалостей інтервалів між надходженнями вимог, так і тривалостей обслуговування (тобто модель типу М/М/1). Таким чином, передбачається, що щільність розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями вимог та щільність розподілу тривалостей обслуговування мають вигляд відповідно: , . (9) Діаграма інтенсивностей переходів зображена на рис.2. Прихід вимоги в систему здійснюється з інтенсивністю , а вихід - з інтенсивністю , оскільки обслуговування здійснюється за допомогою одного обслуговуючого пристрою. Рис. 2. Діаграма інтенсивностей переходів для одноканальної системи з необмеженою чергою Нехай у деякий момент часу число вимог, що знаходяться в системі, включаючи вже ті вимоги, що обслуговуються, дорівнює n . Припустимо, що система починає функціонувати з моменту t = 0. Позначимо . (10) Взагалі, Рп (Т) залежить від кількості вимог і , що знаходилися в системі в момент 0 ; в формулі (10) відповідний індекс для зменшення захаращеності не наводиться. Нехай h > 0 є інтервал часу дуже малої тривалості. Якщо в момент Т + h кількість вимог у системі дорівнює п , то ми будемо вважати, що кількість вимог, що могли знаходитися в системі в момент Т , дорівнює або (п -1), або п , або (п +1) ; всіма іншими можливостями ми нехтуємо як величинами вищого порядку малості. Таким чином, при п > 0 для малих значень h отримаємо: (11) . Перший доданок у правій частині (11) відповідає можливості одного надходження за відсутності виходів із системи у випадку знаходження (п-1) вимог всередині системи в момент Т . Другий і третій доданки відображають відповідно можливість відсутності як надходжень, так і виходів і можливість одного надходження й одного виходу у випадку перебування всередині системи в момент Т п вимог. Остання складова у правій частині співвідношення (3) відповідає можливості одного виходу із системи при відсутності надходжень у випадку перебування всередині системи в момент Т п вимог. Як показує символ , вираз (3) є наближеним (точний вираз для Рп(Т - h) містив би складові з коефіцієнтами hk, де k 2. Перенесемо Рп(Т) із правої частини співвідношення (11) у ліву, розділимо обидві частини цього співвідношення на h і спрямуємо h до нуля. За допомогою цих перетворень одержимо наступний вираз: при п >0 . (12) Рівняння (4) є точним, оскільки нами виконаний граничний перехід h 0 . Аналогічно неважко одержати рівняння: для п =0 . (13) (14.13) Система лінійних диференційних рівнянь (12) і (13) має єдиний розв'язок, якщо задані відповідні початкові умови (тобто кількість вимог і , що знаходилися в системі у момент 0 ). Цей розв'язок називається несталим, оскільки він безпосередньо залежить від Т (нестаціонарний режим роботи). Припустимо, що нами розглядаються значення Рп(Т) при . Якщо Рп(Т) прямує при цьому до деякого граничного значення (позначимо його через Рп ) і якщо для даного граничного розподілу виявляється скінченим, то система досягає стану статистичної рівноваги. Назвемо граничні значення Рп сталими або стаціонарними вірогідностями. Прикметник "стаціонарний" відображає наступну властивість системи: якщо кількість вимог, що знаходяться в ній, визначається в довільно обраний момент часу t за допомогою розподілу Рп , то для будь-якого h > 0 Рn є також вірогідністю виявлення в системі п вимог у момент Т + h . Значення Рп можна також інтепретувати як частку часу довільно великого періоду, протягом якого в системі знаходиться п вимог. Якщо виконується умова , (14) то стаціонарні вірогідності Рп завжди існують. Значення є трафік-інтенсивністю. Розв'язок, що відповідає рівноважному стану Рп (Т) = Рп при будь-якому Т, легко знайти з умови dPn / dT = 0 , яка відображає той факт, що Рп не залежить від Т . Таким чином, для визначення Рр потрібно лише прирівняти до нуля похідні, що стоять у лівих частинах рівнянь (12) і (13). У результатіотримаємо: при п = 1,2,3,..., (15) при п = 0. (16) Система рівнянь у скінчених різницях (15) і (16) легко вирішується методом математичної індукції. Почавши з розгляду (16), отримуємо: . (17) Потім переходимо до (15), розглядаючи послідовно значення п =1, 2, 3, …; в результаті отримаємо: . (18) , (19) звідкіля випливає, що , так що , п = 0,1,2,3,... (20) (геометричний розподіл), причому (21) , . Розподіл вірогідностей (20) залежить лише від трафік-інтенсивності . Оскільки також є тією часткою повного часу з початку функціонування системи, протягом якої прилад не простоює, то цю величину називають іноді коефіцієнтом використання або коефіцієнтом завантаженості приладу, істотним є те, що така інтерпретація зберігає силу навіть у тому випадку, коли не вводиться ніяких конкретизуючих припущень ні щодо розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями, ні щодо розподілу тривалостей обслуговування (тобто коли модель належить до типу GI /G/1 ). Якщо через Рп (Ті) позначити розв'язання рівнянь (20) і (21) за умови, що в початковий момент часу t = () у черзі знаходилося і вимог, то можна показати, що . Отже, прямує до Рп не повільніше, ніж при зміні за експоненційним законом. Зауважимо, що при коефіцієнт при Т в показнику прямує до нуля. Отже, інтервал часу Т , протягом якого значення стане майже рівним Рп , може бути дуже тривалим; ця властивість "повільного прямування до стаціонарного режиму" виявляється особливо помітною при великих значеннях і малих значеннях і . ? 3. Багатоканальна модель з пуасонівським вхідним
Loading...

 
 

Цікаве