WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Границя функції - Реферат

Границя функції - Реферат

Коломийський коледж права і бізнесу
Р Е Ф Е Р А Т
на тему:
"ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ"
Виконав
Кушмелюк Федір М.
Перевірив:
Чоботар О.В.
Коломия
2002
План
1. Границя числової послідовності.
2. Нескінченно малі числові послідовності.
3. Нескінченно великі числові послідовності.
4. Основні теореми про границі.
5. Границя функції неперервного аргументу.
1. Границя числової послідовності.
У курсі "Алгебра і початки аналізу" вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.
З'ясуємо поняття границі на простішому випадку функціональної залежності, коли областю визначення функції у = f (х) є множина натурального ряду чисел N. Таку функцію називають числовою послідовністю і позначають yn = f(n), п = 1, 2, ... .
Числову послідовність ще записують у вигляді ряду чисел y1, 2, ..., ул,…, в якому y1 називають першим членом послідовності, y2 - другим і т. д., yn - n-м, або загальним членом послідовності. Числову послідовність вважають заданою, якщо задано її загальний член.
Для числових послідовностей застосовують ще і таке позначення: (уп) або (ап), де уп, ап - n-ні члени послідовностей.
Прикладами числових послідовностей є арифметична і геометрична прогресії. Тут загальні члени задають такими формулами: уп= y1 + d (п - 1), уп = у1qn-1, п = 1, 2, ..., де d - різниця арифметичної прогресії; q - знаменник геометричної прогресії.
Розглянемо ще приклади числових послідовностей.
Приклад. Розглянемо послідовність, загальний член якої заданий формулою уп = , п = 1, 2, ... .
Дістанемо таку числову послідовність:
(2)
У послідовності (2) члени із зростанням числа п спадають і наближаються до числа нуль. І чим більше число n, тим відповідний член послідовності містиметься ближче до нуля. Іншими словами, відстань |уп - 0| при зростанні n стає як завгодно малою, тобто у послідовності (2) знайдеться член yN такий, що для всіх п > N буде справджуватися нерівність
(3)
де - довільне додатне число. Надаючи є довільних додатних значень, щоразу матимемо шукане число N.
Щоб знайти N для будь-якого наперед заданого додатного числа , підставимо в нерівність (3) значення уп і розв'яжемо здобуту нерівність відносно п. Дістанемо:
(4)
Звідси п > . Отже, нерівність (3) буде справджуватися для всіх значень п, які задовольняють нерівність (4).
Тому за число N можна взяти число , якщо воно ціле, або найбільшу цілу частину цього числа, якщо це число в дробовим. Проілюструємо сказане за допомогою таблиці.
Таблиця
N 2 3 4 5 10 31 100
Дамо означення границі числової послідовності. Число а називається границею послідовності у1, y2, y3,…,уп,..., якщо для будь-якого додатного числа існує таке натуральне число N = N ( ), що для всіх п > N виконується нерівність
. (8)
Символічно це записують так:
Ми будемо користуватися першим позначенням (lim - від латинського слова "limes", що означає "границя").
2. Нескінченно малі числові послідовності
Серед функцій натурального аргументу особливе місце відводиться так званим нескінченно малим послідовностям.
Послідовність уп = f (п), п - 1, 2, ... називається нескінченно малою, якщо уп = 0.
Наприклад, послідовності , є нескінченно малими.
Якщо у нерівності (8) покласти а = 0, то дістанемо нерівність | уп | N. Тому нескінченно малу числову послідовність можна означити ще й так.
Числова послідовність (уп) називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатного числа існує натуральне число N таке, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | 0, знайдеться таке N, що для всіх п > N виконуватиметься нерівність | уп - а | 0 знайдеться таке N, що для всіх п > N виконується нерівність | ап | < , або, що те саме, |уп - а| 0, що для всіх значень п = 1,2, ... виконується нерівність
| уп | 0, існує таке число N = N (М), що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > М. Це записують так:
уп при цьому називають нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовності ((-1)пп), (п2), (п) є нескінченно великі.
Доведемо, наприклад, що ((-1)пп) є нескінченно велика послідовність. Справді, для довільного числа М > 0, починаючи з деякого номера п, маємо |уп|=(-1)пп = п > М. Члени заданої послідовності необмежене зро-стають за модулем, набуваючи то додатних, то від'ємних значень. Якщо М1 = 100, то |у|=п>100, якщо п = 101, 102, ... .
Отже, .
Слід зауважити, що необмежена числова послідовність може й не бути нескінченно великою. Так, числова послідовність (уп), де
є необмеженою і не є нескінченно великою.
Існує тісний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими числовими послідовностями. Цей зв'язок встановлюють такі теореми.
Теорема. Якщо (уп)є нескінченно велика числова послідовність, то послідовність ( ) = є нескінченно малою.
Доведення. Оскільки (уп) є нескінченно велика послідовність, то яке б ми не взяли число М > 0, існує таке число N, що для всіх п > N виконується нерівність | уп | > M. Нехай М = , де - довільне додатне число.
Тоді | уп | > (n > N), або | аn | N). Теорему доведено.
Обернена теорема. Якщо послідовність ( ) є нескінченно мала числова послідовність і для всіх n = 1, 2, ..., то послідовність (уп)= = є нескінченно велика.
Доведення. Оскільки за умовою теореми ( ) - нескінченно мала послідовність, то для будь-якого числа > 0, наприклад, для = , де М > 0 - будь-яке дійсне число, існує натуральне число N = N (М) таке, що для всіх значень п > N виконується нерівність | | 0 існує таке числе > 0, що для всіх і таких, що , якщо виконується нерівність
Символічно це записують так:
Приклад. Довести, що
Розв'язання. Під знаком граниш є лінійна функція y=kx+b(k=2,b=1).З попереднього прикладу випливає, що лінійна функція у = kx + b у будь-якій точці х' a має границю А. Границя дорівнює значенню цієї функції у точці х = а, тобто А = ka + b. Отже, у даному прикладі А = 2 o 1 + 1 = 0. Задача розв'язана.
Loading...

 
 

Цікаве