WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності незалежних випробовувань - Реферат

Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності незалежних випробовувань - Реферат

неможливо розрахувати теоретично, то довільна функція розподілу випадкової величини буде краще чи гірше описувати дану систему.
Однак, якщо дослідів робити дуже багато, а випадкова величина є неперервною, то, як виявляється, усі вони описуються однією функцією розподілу, так званим нормальним законом розподілу випадкової величини, який описується щільністю, густиною.
Як бачимо, дана функція розподілу задається двома параметрами "а" та "?", тобто знаючи їх можна задавати f(х).
Обчислимо математичне сподівання випадкової величини з нормальним законом розподілу:
Введемо безрозмірну змінну.
Z= і тоді х= ?z + a.
і область інтегрування -?, +?.
Тоді :
Перший інтеграл рівний нулю, бо функція непарна, а границі симетричні.
Використовуючи зміст інтеграла Пуассона:
(2)
отримуємо , що М(х) = а (3)
Отже, параметр "а" є математичним сподіванням випадкової величини.
Обчислимо дисперсію випадкової величини
Введемо безрозмірну змінну.
Z= і тоді х-а= ?z , .
Тоді D(X)= (5)
Інтегруємо по частинах
u=z, , .
(6)
Оскільки за визначенням , то є середньоквадратичним відхиленням випадкової величини,отже, а= М(Х)- математичне сподівання, - середньоквадратичне відхилення.
Вплив параметрів "а" та ? на графічну залежність х)=
Площа під заданою кривою рівна 1,бо .Функція симетрична відносно точки х=а.
Максимальне значення ?(х) буде завжди при х=а;причому чим менше значення ?, тим вужчим є пік функції розподілу. Зрозуміло, що при рості ? функція буде розпливатись так, що .
Якщо випадкова величина має а=0, тобто однаковими є ймовірності попадання величини в околи точок +х0 та -х0 то функцією розподілу, щільністю, густиною ймовірності буде функція х)= (7)
Такою функцією розподілу описується білий шум.
Інтегральною функцією розподілу
Зрозуміло, що коли а=0, а ?=1 - вона табульована.
Легко перевірити, що F(x)=F0 !
Ймовірність попадання нормованої величини Х в інтервал (0,х) можна знайти, користуючись функцією Лапласа
Дійсно, .
Якщо врахувати, що функція х) парна і симетрична відносно точки х=0, то
Отже, !
Тоді F0(х)=0,5+ф(х). Ця формула зв'язує дві функції F0(х) та ф(х) (і та, і інша табуьовані.)
Ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал. Нормальний закон розподілу неперервної випадкової величини
Уже відомо, що коли щільність закону розподілу f(х), то ймовірність, що випадкова величина Х попаде в інтервал (?,?) може обчислюватись виразом
(1) бо .
Для спрощення інтегралу введемо безрозмірну змінну ;dx=?dz
Після заміни Наприклад. Фізична величина є випадковою з нормальним законом розподілу. Знайти ймовірність того, що величина попаде в інтервал (10,50). Якщо математичне сподівання 30, а дисперсія 100 (?=10). Тоді
Правило трьох "?". Ми уже знаємо, що степінь розпорошення випадкової величини біля її значення "а" визначається "?". Питається, якщо відомо а та ?, де в основному буде перебувати випадкова величина. Виявляється, що, коли інтервал зміни випадкової величини буде
|x-a|<36, то ймовірність попадання в даний інтервал практично рівна "1".Дійсно
P(|x-a|<36)=2ф3=2*0,49865=0,9973?1
Тобто, якщо білий шум характеризується середньоквадратичним відхиленням ?, то випадкова напруга практично завжди буде коливатися в межах -36і якщо область зміни "X" то це означає , що для усіх X 0 має місце нерівність
Доведення. Розглянемо випадкову величину вона додатно визначена, тоді виписується нерівність (?)
Відмітимо, що нерівність >1 еквівалентна нерівності !
;
Тоді . Але, оскільки змінна або ?? або менша ? , то ясно, що .
Теорема Чебишева. Нехай ?1,…, ?n - попарно спряжені випадкові величини з однаковими математичними сподіваннями та дисперсіями, обмеженими одним і тим же числом
D (?i) ? Ci ; i=1, 2, …
Тоді (?1+ ?2 +…+?n)/n a.
Згідно з властивостями математичного сподівання паралельних величин
M ( ) = [M(?1)+ M(?2)+… M(?n)+]= =a
Аналогічно для дисперсій
D ( ) = [D(?1)+ D(?2)+… D(?n)+] ? = .
Отже D ( ) = ;
Тоді можна записати нерівність Чебишева
P {| - a|< ?} ? 1 - ;
Якщо ж n , то очевидно, що P {| - a|< ?} = 1;
Тобто, якщо дослідів робити дуже багато, то середнє арифметичне значення наближається до математичного сподівання до реального значення вимірювальної величини, при цьому дисперсія 0.
В цьому полягає закон великих чисел.
Теорема Бернулі.
Нехай ? - число появ події А при "n" послідовних незалежних випробуваннях, в кожному із яких імовірність появи події А рівна "p", тоді p.
Доведення. Якщо ? k - число успіхів при "k" випробуванні, то
? = ? 1 + ? 2 +…+? n
При цьому ? (? k) = p . D( ? k) = pq = p(1 - p) = p - p2 = - (p - )2 ? , (k = 1,…,n).
Тому для ? k виконуються умови теореми Чебишева , отже
P (| - p|Отже. Якщо кількість дослідів D, то середньоарифметичне значення результатів кожного прямує до математичного сподівання, а частота появи прямує до ймовірності появи події А.
Ясно, що дії усіх дослідів математичного сподівання і ймовірність появи одна і та ж. Це і є закон великих чисел.
Теорема Ляпунова. (Поняття).
Відомо, що нормальний закон розподілу дуже поширений в природі. Чим же це пояснюється? Відповідь дав Ляпунов (як центрально граматична теорема).
Теорема. Якщо випадкова величина Х представляє собою суму великого числа взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної із яких на всю суму надзвичайно малий, то Х має розподіл, який надзвичайно є близьким до нормального розподілу.
Loading...

 
 

Цікаве