WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності незалежних випробовувань - Реферат

Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності незалежних випробовувань - Реферат


Реферат на тему
Формула Бернуллі: Теореми Бернулі, Чебишева, Ляпунова. Послідовності незалежних випробовувань
Послідовності незалежних випробовувань.
Формула Бернуллі:
Якщо досліди проводити послідовно один за одним в одних і тих же умовах, причому так, що ймовірність реалізації події А не залежить від наслідку інших випробувань, то такі випробування рахуються незалежними відносно подій А.
В подальшому будемо рахувати, що ймовірність події А в усіх випробовуваннях (спробах) одна і та ж.
Під складною подією будемо розуміти суміщення кількох подій, які будемо називати проектами. Нехай приводиться "n" спроб отримати подію А, причому в кожній спробі ймовірність появи події "А" одна і та ж і рівна "p".
Ймовірність не реалізації події А буде q = 1 - p. Нехай необхідно узнати ймовірність тримати подію А "k" раз якщо здійснено "n" спроб. Зрозуміло, що позитивна реалізація події А не повинна бути якоюсь певною. Шукану ймовірність можна обчислити по формулі Бернуллі.
Вивід формули Бернуллі:
Згідно теореми множення ймовірностей, якщо в "n" спробах реалізується "k" раз подія, то ймовірність однієї спроби даної ситуації обчислюється. В даній формулі реалізується лише одна, певна послідовність виникання події 10001110...
Pn(1) (k) = pk qn-k
(ст.25)
Число комбінацій, які сприяють появі даного результату з "n" спроб "k" позитивна реалізація події визначається:
Cnk = n!/k! (n-k)!
Якщо допускається, що до мети (виникнення "k" помірних реалізацій при "n" спробах) веде довільна комбінація 1010101... і інші, то згідно суми ймовірностей незалежних подій шукана ймовірність буде:
Pn(k) = Cnk Pk qn-k = Pk qn-k (1)
Отримана формула називається формулою БЕРНУЛЛІ.
ПРИКЛАД: Ймовірність того, що на протязі доби екзаменаційні сесії двійок отримає не більше p = 0,1; Знайти ймовірність того, що за всю сесію (20 днів) на протязі 7 днів двійок отримає не більше p = 0,1.
Ясно що при p = 0,1 a = 0,9 шукана ймовірність обчислюється за формулою:
P20(7) = C207 P7 q20-7 = 0,17 0,913
Набір чисел Pn(k) = C20k , k = 0,1,2,...,n називається біноміальним розподілом, а саму формулу
Pn(k) = Cnk Pk qn-k
біномною формулою. Оскільки 1n = 1, то
(p + q)n = Cnk Pk qn-k = 1 (2)
(ст.26)
Число настання події являється найімовірнішим, якщо ймовірність даної події більша, за усі інші. Ясно, що для різних "k" число незалежних випробовувань, p - ймовірність послання даної події в одній спробі q = 1 - p - ймовірність не послання події, то найімовірніше число настання події "k0" задовольняє нерівності :
Pn - q ? K0 ? Pn + P (3)
Оскільки K0 додатнє число, а різниця np + p - (n - p) = p + q = 1, то завжди існує оптимальне значення K0.
Якщо ймовірність "p" одного порядку з величиною (1/n) при великих "n" або при P 1 - то ймовірність зросту.
Якщо
1 => pn - kp > kq + q,
pn - q > k (p + q), але p + q = 1.
k pn - q, то функція буде спадати. Графік, схематичний даної функції:
Як бачимо максимум обов'язково є.
Зрозуміло, що pn - q - не є цілим числом. Якщо врахувати, що k0 є цілим числом, то , як виявляється k0 мусить задовольняти нерівності np - q < np + p.
.Д. Числові характеристики випадкових величин. Математичне сподівання та дисперсія випадкових величин.
1. Нехай ? - дискретна випадкова величин з законом розподілу
? x1 x2 …… xn ……
p p1 p2 …… pn ……
Математичним сподіванням М(?) цієї випадкової величини називають суму ряду
M(?)= x1p1+ x2p2+…+ xnpn+ …=
2. Якщо ?- неперервна величина з щільністю ймовірності P?(x) то математичним сподіванням називається число
Математичне сподівання має властивості:
1) Якщо (?) - неперервна випадкова величина з щільністю p?(x), - неперервна то
(x)dx.
У випадку дискретні величини
M( (?))=
2. Mc= c, якщо c= const.
3. M(c?)= cM?,
4. M(? + ?)= M? + M?, де ?: ? - випадкові величини.
5. Якщо ?: ? - незалежні, то
M(??)= M? * M?
6. M(?- M(?))= 0, бо M(?)- M(M(?))= M(?)- M(?)= 0.
Математичне сподівання це середнє значення даної випадкової величини, центр її розподілу. Однак для опису випадкової величини цього не достатньо. Бо
[M(?)]= [?]- розмірності.
Тому вводять числову характеристику, яку називають дисперсією(момент другого порядку).
Дисперсією D(?) називають математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання
D(?)= M(?- M(?))2
Властивості дисперсії.
1. Дисперсія сталої величини рівна нулю
Dc= 0. Дійсно M(?- M(?))2 (c-c)2= 0
2. Сталий множник можна виключити
D(?c)= c2D(?).
3. Якщо ?: ?- незалежні випадкові величини, то
D(? + ?)= D? + D?.
4. D?= M(?2)+ M(?)2.
Дійсно M(?2- 2?M(?)+ (M(?))2= M(?2)- 2M(?)*M(?)+(M(?))2= M(?2)- (M?)2
У випадку дискретної випадкової величини
D(?)= ,
а у випадку неперервної
D(?)=
Розмірність
[D(?)]= [?2].
Середнє квадратичне відхилення
?= ; [?]= [?].
Е. Нормальний закон розподілу. Нормальна крива і вплив н форму кривої параметрів розподілу. Ймовірність попадання випадкової величини з нормальним законом розподілу в заданий інтервал.
Основним поняттям в телекомунікаційних системах є білий шум, джерелом якого є практично необмежена кількість випромінювачів, які між собою неузгоджені ні амплітудами, ані фазами.
Зрозуміло, що цей випадковий процес описується цілком певною функцією розподілу. Якщо ж кількість дослідів обмежена, то, як виявляється, функції розподілу, що описують даний процес є різними, залежать від ряду умов і кількості дослідів. Вибір функції розподілу є досить складною задачею, адже, якщо її
Loading...

 
 

Цікаве