WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття ймовірності - Реферат

Поняття ймовірності - Реферат

С=А*В*К*М і т. п.
1.Умовна імовірність.
При класичному визначенні імовірності говорилось, що подія при виконанні умов "S" може або відбутись або ні. Окрім цих умов "S" інших умов не передбачалось. Якщо інших умов не передбачалось то таку імовірність називають безумовною. При наявності обмежень-умовною.
Умовною ймовірністю Ра(В) називається ймовірність події В якщо подія А відбулась.
Наприклад1:
В коробці 3 білих кульки і 3 чорних. Із коробки послідовно виймають по одній кульці. Знайти ймовірність того, що витягнемо білу кульку (В), якщо першою уже витягли чорну (А).
Якщо чорну витягли, то залишилось 5 кульок із них 3 білих і дві чорних.
;
Цей же результат можна отримати із умови
,
Де р(АВ)- ймовірність добутку події "А" появи чорної кульки в першій спробі
.
17
Тоді
.
Тому можна сформулювати наступну теорему:
Ймовірність сумісної появи двох подій рівна добутку ймовірності появи однієї із тих на умовну ймовірність іншої події,вважаючи, що перша уже відбулась.
Р(АВ)=Р(А)*РА(В).
Наслідок:
Ймовірність сумісної появи кількох подій рівна добутку ймовірності однієї з них на умовно ймовірність всіх інших, при чому ймовірність всякої наступної події обчислюється в припущені, що усі попередні події відбулись.
Р(А1А2…Аn)=Р(А1)*Р(А2)…РА1А2…Аn-1
Замітимо, що порядок подій може бути вибраний довільним чином.
Наприклад2:
У ящику 3 білих 5 чорних.
1) Знайдемо ймовірність того, що другим витягнемо білий (В), якщо перший був чорний (А).
;
;
Тоді
.
2) Знайдемо ймовірність того, що другим витягнемо чорний В, якщо першим білий (А)
; ;
Тобто Р(АВ)не залежить від послідовності подій.
2) Незалежні події. Теорема множення незалежних подій.
Подія В є незалежною від події А тоді, коли ймовірність події В не залежить від того, чи відбулась подія А чи ні.
Наприклад3:
В ящику 3 білих і 5 чорних кульок.
Подія А - виймаймо чорну кульку.
.
Але повернемо кульку назад в ящик.
Подія В - виймаймо білу кульку.
І повертаємо її перед спробою назад.
Легко бачити що подія А та В незалежні. Тоді
РА(В)=Р(В)
Рв(А)=Р(А)
А раз так, то Р(АВ)=Р(А)*Р(В).
Приклад незалежних подій: вибір групою із 5-ти студентів екзаменаційних білетів. Після здачі іспитів білети повертаються і наступна група с 5 студентів є в повністю еквівалентних умовах, як і попередня. Ці події не залежать від послідовності проходження кожної групи. Ці подій незалежні.
Якщо ж РА?Р(В) і Рв(А) ? Р(А) то події називаються залежними. Тобто ймовірність події РА(В) залежить від того чи відбулась подія А чи ні.
(19) Протилежні події
Якщо повною групою подій є дві події А1 і А2. Тобто універсам U= А1 А2 то А2=?1.
P(U)=P(А1+ ?1 )=P(A1)+P(?1)=1
Наприклад: Стрілок вистрілює в мішень, є дві можливості реалізації: попав - подія А; не попав - подія ?.
P(A)+P(?)=1.
Часто ймовірність події ? позначають
q(A)=p(?); p(a)=q(?)
?
не попав в не мішень.
N) Ймовірність появи хоча б однієї події
Нехай після спроби можуть появитись "n" подій. Повна група. Якщо ймовірність кожної події відомі, тобто відомі Р1,Р2,...,Рn тоді ймовірність появи хоча б однієї події незалежних в сукупності подій рівна
Р(А)=1-q1*q1*….* qn ; де q1=1-p1
Ймовірність того що жодна подія не реалізувалась!
Якщо, коли р1=р2=...=рn то і q1=q2=…=qn
тоді P(А)=1-q1n.
0)Наслідки із додавання і множення.
1)Теорія додавання ймовірностей сумісних подій.
Якщо події сумісні, тобто їх геометрична інтерпретація має вид
то очевидно, що ймовірність об'єднання подій
p(A B)=p(A)+p(B)-p(AB)
бо площа А В.
враховується два рази.
Якщо події не сумісні то А В=0 і, очевидно, р(А В)=р(А)+р(В)
Наприклад. Ймовірність попадання в мішень снаряду з першої пушки р1 = 0,7 а з другої р2=0,8. Знайти ймовірність того, що мішень буде знищено, тобто в неї попаде хоча б один снаряд.
Р(А) - ймовірність першого
Р(В) - ймовірність попадання другого
Р(АВ) - ймовірн. Попадання і першого і другого.
Тоді шукана ймовірність
P(A B)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)/
P(A)=0.7; P(B)=0.8; P(AB)=0.56
Незалежні події
Тоді p(A B)=0.7+0.8-0.56=0.94.
До речі попаданням хоча б одного: р(А+В)=1-q1q2=1-0.3*0.2=0.94
П) Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.
Нехай подія А може відбутись при виконанні появи при реалізації із несумісних подій В1, В2,...,Вn, які створюють повну групу. Нехай нам відома сукупність умовних ймовірностей
р(А), р(А),..., р(А)
В1 В2 Вn
Як обчислити ймовірність події А?
Теорема .
Ймовірність події А, яка може відбутись лише при умові реалізації однієї із несумісних подій В1, В2,...,Вn, що створюють повну групу, рівна сумі добутків ймовірностей кожної із даних подій та відповідну умовну ймовірність події А.
Тобто
Р(А)=р(В)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A).
Ця формула називається формулою повної ймовірності
Наприклад.
Є два набора деталей.
В першому ймовірність вибору стандартної деталі 0.8, а в другому 0,9.
Знайти ймовірність того, що взята деталь буде стандартною. Ясно, що деталь можна взяти як із першого так із другого набору.
Розв. Нехай подія "А" - вибрати стандартну деталь, подія В1 вибрана із "1"наьору
Подія В2 - з другого.
Ймовірність того, що деталь взята з "1"набору
Р(В1)=1/2; бо їх "2"
Аналогічно
Р(В2)=1/2.
Р(А)=1/2*0,8+1/2*0,9 - буде шукана ймовірність вибору стандартної деталі
Р(А)=0,85.
Як бачимо, в формулу входять різні гіпотези, або вийняли з "1" або з "2".
Р)Ймовірність гіпотез. Формула Бейеса.
Нехай подія А може наступити при виконанні однієї із несумісних подій В1,...,Вn , що створюють певну групу. Оскільки наперед невідомо яка з подій реалізується то їх називають гіпотезою. Ймовірність появи події А
Р(А)=р(В1)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A).
Допустимо, що подія А відбулась. Тоді цікаво, які ймовірності рА(В1)..... рА(В2) з врахуванням того, що подія А відбулась.
Спочатку визначимо ймовірність рА(В1). По теоремі множення (перерізу)
Р(АВ1)=р(А)*рА(В1)=р(В1) рв1(А)
Звідси слідує, що
рА(В1)= (р(В1) рв1(А))/ р(А)=( р(В1) рв1(А))/( р(В1)*р В1(А)+ р(В2)*рB2(А)+...+р(Вn)*pBn(A))
Аналогічно підраховується ймовірність події рА(Ві)
(23)
Loading...

 
 

Цікаве