WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Поняття ймовірності - Реферат

Поняття ймовірності - Реферат

Наприклад є 10 шарів чорних, визначити ймовірність витягнути чорний шар (А).
Р(А)= =1.
2. Ймовірність неможливої події рівня "0". В корзині лише чорні шарфи. Визначити ймовірність витягнути білий (В)
Р(В)= =0.
3. Ймовірність випадкової події, тобто (С) є додатнє число, що задовольняє нерівність
0?Р(С)?1.
1. Основні формули комбінаторики.
При обчисленні ймовірності дискретних подій необхідно користуватись одним із розділів "Дискретної математики". Цей розділ має назву "Комбінаторика".
1). Розміщення з повторами.
Нехай у нас задано деякий алфавіт. Це деякий базовий набір елементів, наприклад список студентів 2-го курсу ІТФ.
Нехай у нас є "n" предметів (алфавіт) різного виду x={x1… xn} з яких складаються набори довжиною "m", m < n. Наприклад 3 x 1,x 2,x 5; x 1,x6,x7 ; і т. д. Такі набори називають розміщеннями з номерами із "n" по "m".
A =n*n*n*…*n=nm.
2).Розміщення без повторів.
Якщо є x {x1,…xn} "n" елементів і ми вибираємо вибірки розміром "m" без повторів то
? =n*(n-1)(n-2)…(n-m+1)= .
3). Перестановки.
Нехай є множина x, |x|=N. Розглянемо вибірки - перестановки із "n" елементів по "n" такі, які відрізняються лише розміщенням елементів.
Р =А =n!
Звертаю увагу !
Що всі елементи множини X різні!
(x1 x2 x3 )
(x1 x3 x2 ) і т.д.
(x2 x1 x3 )
Всього "b"=3!=1*2*3
4). Комбінації без повторень.
Нехай дано сукупність різних елементів множини X={x1… xn}.Нас буде цікавити склад набору із "m" елементів в яких порядок не істотній. Тобто наші набори відрізняються один від іншого лише складом а не порядком. Загальне число комбінацій буде
С .
Якщо ж кількість вибірок буде значно відрізнятися від А причому на число перестановок елементів.
Адже вибірки (x1 x2 x3 ) (x1 x3 x2) в "розміщенні" є різними а в комбінаціях однакові. Таких розміщень різних є "m"! Отже
С =А =
Д).Відносна частота та стійкість відносної частоти появи подій
Існує ряд визначення неймовірності.
Якщо може відбратись в принципі "n" наслідків, причому події А сприяє "m",тоді
Р(А) =m/n;
Ясно, що події несумісні і можуть при випробуванні відбутись лише одна . Тобто існує швидкий набір різних елементарних подій w1…wn, n - елементів.
Події типу А сприяє із заданого набору (w1…wn) лише набір wk…wk+m
m
і м n
тоді: Р(А)=m/n.
Введемо поняття відносної частоти подій. Нехай у нас відбулось n подій, причому подія А реалізувалась у м випадках. Тоді частота подій А виражається відношенням
W(A)=m/n; ясно, що m n
Що ж буде робитись з w(A) якщо n .Виявляється, що відносна частота володіє стійкістю
Lim w(A)=p(A)-е дуже важливо
Тобто, при багаторазовому п дослідів відносна частота наближається до імовірності даної події.
Статистичне визначення ймовірності подій
. Наприклад набір результатів вимірювання розміру (одного і того ж) деталі, віддалі. Результати вимірювання миттєвого значення температури, тиску , і інгших величин. Тобто є події, для яких неможливо вказати певний набір елементарних подій. В цьому випадку саме класичне визначення "U" є проблемою.
Відмічений недолік можна подолати, якщо використати геометричне представлення визначення ймовірності, або чи скористатись статистичним визначенням ймовірності:
В якості статистичного визначення ймовірності визначають відносну частоту появи події або число, яке близьке до даної частоти. Все це є вірним, якщо число елементарних подій дуже велике.
Недоліком такого вираження є його ж однозначність. Адже для певного конкретного набору елементарних подій дане число різне. Тільки в границі воно давє ймовірність, якщо число елементарних випробувань ? ?.
Ж). Геометричпі ймовірності
Якщо випадкова величина неперервна і займає певний відрізок частини ? , даний об"єм , то можна ввести геометричну ймовірність , як відношення довжини відрізку (частини поверхні, об'єму) який сприяє появі події А до всеможливих значень параметру.
1 Для лінійного випадку
Нехай випадкова величина приймає значення, які належать відрізку L
Якщо при випробовуванні точка повинна попасти на відрізок "l" то геометрична ймовірність попадання визначається
Формула
Це справедливо лише в тому випадку, якщо на даному інтервалі L події рівнозмінні.
2. Для плоского випадку
де So - весь набір можливих значень. "S " деяка виділена площа. Р - імовірність попадання точки в дану площадку "S"
Приклад 1 . Нехай задано дві площадки радіусами Ro I ri. Тоді ймовірність попадання точки в середній круг буде
Малюнок і формула
Приклад 2 В сигналізатор поступають сигнали від двох пристроїв. Рівноможливо в довільний момент часу з відрізка часу Т. Моменти появи даних сигналів незалежні. Сигналізатор спрацьовує лише у випадку, якщо між моментами виникнення сигналів головна віддаль буде менша tЗнайти ймовірність того, знайти ймовірність того, що сигналізатор спрацьовує на відрізку часу Т.
Розв'язок.
Нехай поява сигналу 1 пристрою прийде в момент часу 0 А поява 2 сигналу прийде в момент часу 0Тоді головна область набуде вигляду
Сигналізатор спрацьовує якщо х-уТобто коли точка попадає в заштриховану область А.
Тоді ймовірність спрацювання сигналізатора:
Як відношення двох площ.
15
3) ТЕОРЕМА ДОДАВАННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Сумою (об'єднанням) двох подій А+В А?В називається подія С, яка реалізується у випадку коли відбуваються або подія А, або подія В, або обидві.
С = А+В (А?В). В дискретній математиці застосовують позначення А?В .
Р(А)= ;
Тобто сумою подій називають подію, яка рахується реалізованою, коли реалізується хоча б одна із подій, що входять в суму.
Якщо події А та В несумісні А?В = 0
То ймовірність сумарної події Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Це реалізується для будь-якого числа незалежних несумісних подій. Зрозуміло, що повний набір елементарних подій створює універсум U.
P(U)=P(A1)….P(An)….=1 Оскільки потужність універсуму необмежена, тобто необмеженою але повною є група елементарних подій. При цьому, використовуючи геометричне представлення ймовірності цілком зрозумілим є Р(А)= .
16
4)Множення подій.
Визначення: під множенням подій називають подію С=А*В таку, яка рахується, що відбулась коли відбулись події А та В.Вірніше хА ? хВ -область визначення. Події можна множити будь-яку кількість
Loading...

 
 

Цікаве