WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко, Ліндберга - Реферат

Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко, Ліндберга - Реферат

дорівнює приблизно P 0.98, тобто подія (5.4) практично вірогідна, і можна впевнено очікувати її виконання з одного разу. Якщо =1, то ймовірність (5.4) дорівнює 0.5, і виконання його хоча б раз можна впевнено очікувати, зробивши 7 експериментів (тому що імовірність невиконання жодного разу дорівнює (0.5)7 = 1/128). І це при будь-якому фіксованому n, наприклад, n = 1000. Перевіримо це експериментально.
При виконанні в пакетах, де немає закону Коші, врахуємо, що, якщо випадкова величина X розподілена рівномірно на відрізку довжини , то випадкова величина
Y = tg X (5.5)
має щільність (5.3). Згенеруємо 7 вибірок обсягом n=1000 і перевіримо (5.4) при =1.
Стиск розподілу з ростом числа доданків
Закон великих чисел у формі Чебишева означає, що розподіл випадкової величини
стискується з ростом n. Якщо математичні сподівання однакові, тобто M i=a, то стиск відбувається в околиці точки a.
Аналітично ілюструвати стиск можна, якщо розподіл для легко виписується. Наприклад, якщо i розподілені нормально N(a, 2), то випадкова величина розподілена за N(a, 2/n). Побудуємо графіки щільностей для n =1, 4, 25, 100 і =1, a =1 (зробимо це з метою освоєння пакета).
Статистично переконатися в стиску можна, спостерігаючи гістограми при різних значеннях n (наприклад, для n =10, 40, 160, 640). Згенеруємо k раз (наприклад, хоча б k =20) випадкову величину : і побудуємо для цієї вибірки середніх гістограму Hn. Порівнюючи гістограми для різних n, ми помітимо стиск (зробити самостійно). Стиск розподілу можна також побачити визначенням для кожного n по мінімального min, максимального max значень і розмаху w = max - min .
Посилений закон великих чисел
Теорема Бореля (1909 р.) ( перша теорема на цю тему) затверджує, що відносна частота fn появи випадкової події з ростом числа n незалежних іспитів прямує до імовірності p
(5.6)
з імовірністю 1. Іншими словами, при будь-якому експерименті з нескінченним числом іспитів має місце збіжність послідовності fn до p.
Будемо говорити, що для послідовності випадкових величин посилений закон великих чисел є справедливим, якщо
при n (5.7)
з ймовірністю 1.
В частинному випадку, при рівних математичних сподіваннях, M i=a, це означає
при n (5.8)
з імовірністю 1.
Достатня умова виконання (5.7) дає наступна теорема.
Теорема Колмогорова. Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових величин задовольняє умові
,
то для неї справедливий посилений закон великих чисел.
Для незалежних і однаково розподілених випадкових величин справедливий остаточний результат:
Теорема. Необхідною і достатньою умовою для застосовності посиленого закону великих чисел до послідовності незалежних величин є існування математичного сподівання.
Теорема Гливенко основна теорема статистики
Нехай x1, x2,...,xn - вибірка з n незалежних спостережень над випадковою величиною X з функцією розподілу F(x). Розташуємо спостереження в порядку зростання; одержимо
- варіаційний ряд. Визначимо функцію емпіричного розподілу
,
де - число тих спостережень, для яких xi0 задовольняє умові Ліндеберга
,
де , , те при n рівномірно відносно x
(5.11)
Наслідок. Якщо незалежні випадкові величини 1, 2,..., n,... однаково розподілені і мають скінчену відмінну від нуля дисперсію, то виконується (11).Умова Ліндеберга в цьому випадку, тобто M k=a, D k= 2, Fk(x)=F(x), приймає вигляд: при кожнім > 0 і при n
;
Це співвідношення виконується, оскільки інтеграл по всій осі, тобто дисперсія, існує.
Переконаємося статистично в тім, що сума декількох випадкових величин розподілена приблизно за нормальним законом.
Необхідні й достатні умови для закону великих чисел
Очевидно, що закон великих чисел є однією з основних закономірностей теорії ймовірності. Тому зрозуміло, що багато зусиль було покладено на те, щоб встановити найбільш загальні умови, яким повинні задовольняти випадкові величини Х1, Х2,…Хn, щоб для них мав місце закон великих чисел. Історія цього питання наступна. В кінці 17-18 століття Яків Бернуллі довів теорему, яка носить його ім'я. Ця теорема Бернуллі була вперше опублікована у 1713 р., після смерті автора. Потім на початку 19 століття Пуассон довів аналогічну теорему для більш глибоких умов. У 1866 р. Чебишев П.Л. запропонував метод, який ми уже розглянули. Марков А.А. показав, що судження Чебишева дозволяють отримати більш загальний результат.
Детальніші дослідження не приносили принципово нових результатів і лише у 1928 р. Колмогоров А.Н. отримав умови, необхідні і достатні для того, щоб послідовність взаємно незалежних випадкових величин Х1, Х2…Хn підпорядковувались закону великих чисел.
У 1928 р. Хінчін А.Я. показав, що якщо випадкові величини Хn не тільки незалежні, але й однаково розподілені, то існування математичного сподівання М(Хn) є достатньою умовою закону великих чисел.
В останні роки багато робіт було присвячено знаходженню умов, які треба накласти на незалежні випадкові величини, щоб для них виконувався закон великих чисел. Зокрема, теорема Маркова належить до таких тверджень. Використовуючи метод Чебишева, Б.В. Гніденко довів необхідні і достатні умови застосування закону великих чисел до послідовності довільних випадкових величин.
Література
1. Рабик В.М. Основи теорії ймовірностей: Навчальний посібник. - Львів: Магнолія плюс, 2004. - 176 с.
2. Лавренчук В.П., Веренич І.І., Готинчан Т.І. та інші. Теорія ймовірностей та елементи математичної статистики: Навчальний посібник. - Чернівці: Рута, 1998. - 176 с.
Loading...

 
 

Цікаве