WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко, Ліндберга - Реферат

Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко, Ліндберга - Реферат


Реферат на тему:
Закон великих чисел. Теорема Бернулі, Чебишева, Бореля, Гливенко, Ліндберга
Зміст
1. Закон великих чисел.
2. Теорема Бернуллі.
3. Нерівність Чебишева.
4. Кидання симетричної монети.
5. Закон великих чисел у формулі Чебишева. Теорема Чебишева.
6. Реалізація практично достовірної події.
7. Стиск розподілу з ростом числа доданків.
8. Посилений закон великик чисел. Теорема Бореля .теорема Колмогорова.
9. Теорема Гливенко - основна теорема статистики.
10. Центральна гранична теорема. Теорема Ліндеберга.
11. Необхідні й достатні умови для закону великих чисел.
Закон великих чисел
Як відомо, наперед неможливо передбачити яке із можливих значень набуде випадкова величина в результаті випробування.
Оскільки в цьому плані про кожну випадкову величину ми маємо мало інформації, то чи можна встановити закономірності поведінки достатньо великого числа випадкових величин.
Виявляється, що при деяких досить широких умовах сумарна поведінка достатньо великого числа випадкових величин майже втрачає випадковий характер і стає закономірною.
Для практики якраз важливо знання умов, при виконанні яких сукупна дія великого числа випадкових причин приводить до результату, який майже не залежить від випадку, оскільки дозволяє передбачити хід явища.
Ці умови і вказуються в теоремах, які мають загальну назву закону великих чисел. Сюди відносять теореми Чебишева, Бернуллі, Ляпунова та інші
Теорема Бернуллі
Якщо проводиться n незалежних випробувань випадкової події A, ймовірність якої P(A) = p, то відносна частота /n появи події A ( число появ A) при великому n приблизно дорівнює імовірності p:
.
Уточнення: будемо писати при , якщо для кожного >0 і для досить великих n співвідношення
(5.1)
виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:
при .
У цьому полягає теорема Бернуллі. Помітимо, що теорема не стверджує, що співвідношення (5.1) є вірогідним, однак, якщо n досить велике, то ймовірність того, що воно є справедливим близька до 1 (наприклад, 0.98 чи 0.999), що практично вірогідно. Якщо проводиться експеримент, який складається з цього досить великого числа n випробувань, то можна бути впевненим, що співвідношення (5.1) буде виконано. Продемонструємо це не абсолютно достовірне твердження на прикладах. Слід зауважити, що при оцінюванні виглядності збіжності застосовується нерівність Чебишева.
Нерівність Чебишева
Ймовірність того, що відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання за абсолютною величиною менше додатного числа ?, не менша, ніж 1-D(X)/ ?2, тобто
P(|X-M(X)|< ?)?1-D(X)/ ?2
Кидання симетричної монети.
Імовірність появи герба p=0.5. Можна показати (за допомогою центральної граничної теореми), що, наприклад, якщо n (1.5/ )2, то співвідношення (5.1) виконується з імовірністю 0.997, а якщо n (1.3/ )2, те з імовірністю 0.99; остання в даному випадку нас цілком влаштовує як практична вірогідність. Покладемо = 0.1; тоді співвідношення
| / n - 0.5 | < 0.1 (a)
виконується з імовірністю 0.99 при n 170. ЯКЩО =0.03, то співвідношення
| / n - 0.5 | 0 і досить великих n співвідношення
(5.2)
виконується з імовірністю, що прямує до 1 з ростом n; запишемо це так:
при n .
Це одне з тверджень закону великих чисел. Помітимо, що, як і теорема Бернуллі, воно не означає, що співвідношення (5.2) вірогідно; однак, якщо n досить велике, то імовірність його виконання близька до 1, наприклад, 0.99 чи 0.999, що означає практично вірогідно. Наведемо повне формулювання однієї з теорем закону великих чисел у формі Чебишева,
Теорема Чебишева. Якщо - послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають скінченні дисперсії, обмежені однією і тієї ж константою:
,
то для будь-якого >0
при .
Реалізація практично достовірної події
Переконаємося у виконанні (5.2) статистично на прикладі 1.
Приклад 5.2. Нехай випадкові величини розподілені рівномірно на відрізку [0,1]. Якщо значення задавати довільно, а число випробувань вибирати з умови n (9D / 2), то (як неважко показати) співвідношення (5.2) виконується з імовірністю P=0.997, а якщо n (5.4D / 2) - то з P=0.98. Остання нас влаштовує, як практична вірогідність.
Покладемо 1 =0.1 і 2 =0.02, визначимо два відповідних значення n1 =45 і n2 =1125, і перевіримо (5.2) експериментально (у нашому випадку a=0.5). Виконання аналогічне п.1.
Завдання. Перевірити (5.2) експериментально для експоненційно розподілених доданків з M =1. Прийняти 1 =0.2 і 2 =0.05.
Приклад 5.3. Невиконання закону великих чисел
Розглянемо випадкову величину, розподілену за законом Коші з щільністю
(5.3)
Помітимо, що щільність симетрична щодо нуля, однак, 0 не є математичним сподіванням, оскільки цей розподіл не має математичного сподівання. Нагадаємо, що математичним сподіванням називається , якщо ; останнє співвідношення для розподілу Коші не виконується. Для послідовності незалежних випадкових величин, розподілених за законом Коші (5.3), закон великих чисел не виконується. Якби середнє арифметичне збігалося б з ростом n до якіоїсь константи, то, в силу симетрії розподілу, такою константою міг бути тільки 0. Однак, 0 не є точкою збіжності. Дійсно, можна показати, що при кожному >0 і при будь-якому як завгодно великому n
(5.4)
з імовірністю arctg . (Пояснимо це: за допомогою характеристичних функцій легко показати, що розподілено за (5.3), а функція розподілу для (5.3) є arctg x). Ця імовірність, як видно, не прямує до 0 з ростом n. Наприклад, якщо = 0.03, то ймовірність виконання (5.4)
Loading...

 
 

Цікаве