WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)(пошукова робота) - Реферат

Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)(пошукова робота) - Реферат

попереднє рівняння мало лише один розв'язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто
.
Після скорочення на 4 матимемо
У результаті спрощень приходимо до рівняння
звідки
Отже через задану точку до еліпса можна провести дві дотичні:
Зауваження. У цьому прикладі не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку, коли точка, через
яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.
Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд
Очевидно, що коли в рівняння еліпса замість і підставити відповідно і , то одержимо тотожність , то одержимо тотожність , тобто формули задовольняють рівняння еліпса. Тому теж є рівняннями еліпса. Ці рівняння називають параметричними рівняннями еліпса, бо тут залежать від параметра . Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно складніші за еліпс. Наприклад, крива
не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:
.
Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній системі координат.
3.6.2. Гіпербола
Якщо в рівняння (3.40) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю, причому мають різні знаки, то одержимо
.
Останнє рівняння можна записати у вигляді
, (3.40)
де або
Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3.40) (із знаком "+ " в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою. Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну через , вважаючи, що і (перша чверть):
(3.41)
Областю визначення цієї функції є , причому при
зростанні від до зростає від нуля до . Оскільки , то крива (3.41) опукла.
Розглянемо пряму і оцінимо різницю
.
Очевидно, що при будь-яких матимемо . Якщо прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на . Тоді одержимо
.
Тепер уже очевидно, що при різниця прямує до нуля, тобто прямує до злиття з кривою .
На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3.40), якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична (рис. 3.20).
Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки і називаються вершинами гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.
Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки і ,
, а також точку на кривій. Запишемо різницю:
.
Після тотожних перетворень одержимо
.
Щоб ця рівність збігалася з (3.40), повинно бути .
Рис. 3.20
Оскільки , то . Звідси одержуємо таке означення гіперболи.
Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей яких від двох даних точок є сталою величиною. Точки і називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.
Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при одержуємо , де - уявна одиниця.
Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо . Як і у рівнянні еліпса, маємо
.
З цих двох рівнянь маємо
де .
Величина називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку
еліпса, прямі називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.
Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .
У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції
.
Легко довести, що .
Розглянемо тепер гіперболу
.
Нехай , де - змінний параметр. Підставивши у рівняння гіперболи вирази для , одержимо , тобто вони задовольняють рівнянню гіперболи. Тому рівняння
є параметричним рівняння гіперболи.
Рівняння дотичної прямої до гіперболи в точці , що лежить на гіперболі, має вигляд
Приклад. На площині задано дві точки (рис. 3.21). Дві прямі обертаються навколо цих точок у протилежних напрямках з однаковою кутовою швидкістю. Перед початком руху одна з прямих збігається з прямою , друга - перпендикулярна до . Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що обертаються.
Р о з в ' я з о к. Вісь проведено через точки , а вісь через точку - середину відрізка перпендикулярно до . Розглянемо проміжне положення двох прямих, що обертаються. Нехай вони перетинаються у точці , причому їх кутові швидкості обертання дорівнюють . Нехай від початку руху пройшов час . Тоді .
З рис .3.29 маємо
;
.
Звідси .
Рис. 3.21
Отже траєкторією точки перетину прямих є рівнобічна гіпербола.
3.6.3.Парабола
Нехай в (3.36) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю. Тоді матимемо або
, (3.42)
де . Зрозуміло, що коли , то , і коли , то .
Розглянемо випадок, коли .
Крива, що описується рівнянням (3.42), називається параболою.
Виходячи лише з рівняння (3.42), вивчимо її властивості, форму і побудуємо графік.
З самого рівняння ясно, що відповідна крива симетрична відносно осі , бо при заміні на рівняння не змінюється. Оскільки , то графік параболи розміщений у І-й і ІУ-й чвертях. Обмежуючись тимчасово І чвертю, встановимо її властивості. Маємо . Ясно, що крива проходить через початок координат, що при зростанні зростає і , що , а це означає, що відповідна крива є опуклою.
Отже, її графік має вигляд рис.3.22.
Рис. 3.22
Розглянемо деяку точку і пряму і обчислимо : , . Вияснимо, при яких рівність збігається з (3.42).
Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо . Тоді . Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням (3.42) відбудеться при тобто а це означає, що .
Виходячи зцього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.
З описаного випливає, що парабола має лише одну директрису , що фокус параболи знаходиться в точці і що її ексцентриситет .
Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної точки до даної прямої (директриси) є величина стала .
3.6.4. Рівняння еліпса, гіперболи і параболи в полярних
координатах
Нехай - один із фокусів еліпса або гіперболи, або фокус параболи, - дуга однієї з вказаних кривих (рис. 3.23). Із рисунка маємо
З останньої рівності маємо
(3.43)
Рівняння (3.43) описує одну з кривих (еліпс, гіперболу або параболу) залежно від того, яким є :
якщо , то рівняння описує еліпс;
якщо , то рівняння описує гіперболу;
якщо , то рівняння описує параболу.
Універсальність полягає в тому, що одним і тим самим рівнянням описуються всі криві (еліпс, гіпербола і парабола). Рівнянням (3.43) користуються в механіці та астрономії при вивчені руху планет.
Вказані три криві мають спільне походження: всі вони є певними перерізами двопорожнинного конуса. Цей факт чудово ілюструється рис.3.24 і вказує на джерело універсальності трьох розглянутих кривих.
Рис. 3.23 Рис. 3.24
Loading...

 
 

Цікаве