WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції на топологічних просторах - Курсова робота

Операції на топологічних просторах - Курсова робота

декартовий добуток не є фактор-відображенням.
Множина замкнена для . і сім'я кінцево локальна. Тому об'єднання замкнене в . Оскільки а множина не замкнена в .З рівності випливає, що не є фактор-відображенням.
5. ГРАНИЦІ ЗВОРОТНИХ СПЕКТРІВ
Нехай - направлена множина, і нехай кожному поставлено у відповідність топологічний простір . Нехай, для будь-яких , , таких, що , визначене неперервне відображення . Нехай, крім того, для будь яких , таких, що і для кожного . Тоді, сім'я є зворотним спектром просторів ; відображення називаються зв'язуючими відображеннями зворотного спектру .
Зворотний спектр , де N - множина всіх додатних цілих чисел із звичайним порядком, називається зворотною послідовністю і позначається .
Нехай - зворотний спектр; елемент добутку називається ниткою зворотного спектру , якщо для будь-яких , які задовольняють нерівність . Підпростір простору , що складається зі всіх ниток спектру , називається межею зворотного спектру і позначається через або .
5.1. Твердження. Границя зворотного спектру гаусдорфових просторів є замкнений підпростір добутку .
Доведення. Для будь-яких , таких, що , покладемо .
Оскільки, множини замкнені в добутку , то множина також замкнена у добутку .
Границя зворотного спектру абсолютно нормальних просторів не обов'язково буде нормальною. Проте границя зворотної послідовності абсолютно нормальних просторів є абсолютно нормальною. Цей останній висновокневірний для нормальних або спадково нормальних просторів
5.2.Приклад. Нехай - сім'я топологічних просторів, причому . Зауважимо, що сім'я всіх кінцевих підмножин множини визначених включенням, тобто визначена відношенням , визначеним так тоді і тільки тоді, коли . Нехай для кажного . Для будь-яких таких, що , визначено неперервне відображення - звуження елементів простору на підмножину . - зворотний спектр топологічних просторів. Для будь-якого покладемо . Поставивши у відповідність кожній точці точку , визначимо гомеоморфізм простору на добуток . Отже, застосовуючи границю зворотного спектру, можна виразити нескінченні добутки в термінах кінцевих добутків.
Нехай - зворотний спектр топологічних просторів, і нехай . Для кожного визначимо відображення , де - проєкція. Відображення називається проекцією границі зворотного спектру на .
5.3. Твердження. Всякий замкнений підпростір А границі X зворотного спектру є границя зворотного спектру замкнених підпросторів просторів .
5.4. Теорема. Нехай - топологічна властивість, успадкована замкненими підмножинами і є кінцево мультиплікативною. Топологічний простір X гомеоморфний границі зворотного спектру - просторів, які володіють властивістю , тоді і тільки тоді, коли X гомеоморфне замкненому підпростору добутку - просторів, які володіють властивістю .
Нехай дані два зворотні спектри і . Відображення зворотного спектру в зворотний спектр є сім'я така, що складається з функції такої, що множина конфінального , і неперервних відображень , визначених для всіх і таких, що . Будь-яке відображення зворотного спектру в зворотний спектр індукує неперервне відображення границі в . Щоб переконатися в цьому, розглянемо відображення зворотного спектру в . Для нитки і кожного покладемо , одержана таким чином точка є нитка, тобто . Дійсно, для будь-яких , маємо, в силу (4) і (5),
.
Поставимо у відповідність точці точку . Цим ми визначаємо відображення . Покажемо, що неперервне. Для цього достатньо показати, що прообрази при відображенні всієї множини , де - відкрита підмножина простору , відкриті в просторі X. Для має місце рівність ,значить, прообраз відкритий, бо і неперервні. Відображення називається граничним відображенням, індукованим сім'ями , і позначається через .
5.5. Твердження. Нехай - відображення зворотного спектру в зворотний спектр . Якщо всі відображення - гомеоморфізми, то граничне відображення також є гомеоморфізмом.
Доведення. Достатньо показати, що для кожного і будь-якого відкритого образ при відображенні множина відкрита у . , оскільки відображення просторів на , то маємо . Тоді
відкрите в просторі .
5.6. Теорема. Для будь-якого відображення зворотного спектру у зворотний спектр існує гомеоморфне вкладення , де таке, що . Якщо всі простори гаусдорфові, то є замкненим підпростором добутку .
Доведення. Для кожного діагональне відображення є гомеоморфним вкладенням, і якщо, простір гаусдорфів, то замкнене. Композиція гомеоморфізма на , де і звуження
також є гомеоморфним вкладенням, і якщо всі гаусдорфові, то - замкнений підпростір простору . Рівність очевидне.
5.7.Теорема. Для кожного зворотного спектру і будь-якого існує зворотний спектр (у якому при будь-якому ), гомеоморфізм і відображення спектру в , де -зв'язуючі відображення спектру такі, що .
Доведення. Визначимо зворотний спектр , вважаючи, що для і для будь-яких таких, що . Границя спектру співпадає з діагоналлю добутки , де . Позначимо через гомеоморфізм на , зворотний гомеоморфизму
. Сім'я , де і при , є відображення зворотного спектру в зворотний спектр . Співвідношення .
Якщо задані зворотний спектр із , топологічний простір X і сім'я відображень такі, що , коли і , тоді сім'я є відображенням постійного зворотного спектру в зворотний спектр . Тим самим визначене граничне відображення
із в . Композиція , де - визначений гомеоморфізм простору X на , називається граничним відображенням, індукованим сім'єю , або значаєтся .
Аналогічно, якщо задані зворотний спектр із топологічних просторів X і сім'я таких відображень такі, що для будь-яких , задовольняючих нерівності , то сім'я є відображенням зворотного спектру в постійний зворотний спектр , так що визначене граничне відображення простору у . Композиція де - гомеоморфізм X на , називається граничним відображенням, індукованим сім'єю відображень , і позначається .
?
Список використаної літератури:
1. Ришард Енгелькынг "Общая топология" - Москва, "Мыр", 1986р.
2. Кураторський, Казимир "Топологія". Пер. з англ. М. Я. Антоновського. т.1-2, Москва, "Мир" 1966-1969р.
3. Федорук В.В., Фылынов В.В. "Общая топологыя, основниэ конструкциыї" Москва,Наука,1980р.
Loading...

 
 

Цікаве