WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції на топологічних просторах - Курсова робота

Операції на топологічних просторах - Курсова робота

є гомеоморфним вкладенням простору X в . Канторів куб ваги - це простір , тобто добуток , де для кожного і . Канторів куб називається канторовою множиною. Вага простору рівна . Канторів куб також є універсальним простором для всіх нуль-вимірних просторів ваги . Олександрівський куб ваги - це простір , тобто добуток , де для кожного і .
3.14. Теорема. Олександрівський куб універсальний для всіх -просторів ваги .
3.15.Приклад. Нехай - тотожне відображення прямої самої на себе і - відображення тієї ж прямої в одноточковий дискретний простір {0}. Обидва відображення замкнені, проте їх декартовий добуток не є замкнутим.
3.16. Твердження. Декартовий добуток , де і для , відкрите тоді і тільки тоді, коли всі відображення відкриті і існує скінченна множина така, що для .
Доведення. Із рівності випливає, що якщо відображення задовольняють вказаним в твердженні умовам, то відображення відкрите.
І навпаки, нехай - відкрите відображення. Візьмемо і непорожню відкриту множину . Множина непорожна і відкрита в , тому множина відкритийа в бо проекція - відкрите
відображення. Звідси випливає, що відображення відкрите. Оскільки , то непорожня відкрита підмножина простору . Тому вона містить множину вигляду , де тільки для , тоді ми маємо .
3.17.Твердження. Нехай відображення , , замкнені і нехай є -простором, а є -простором, тоді діагональ замкнена.
Доведення. Достатньо показати, що якщо замкнене для , де є - простір, то замкнена. Візьмемо замкнену множину і точку . Оскільки , то
.
З регулярності випливає, що існує окіл точки , який задовольняє включення
.
Тому
, звідки, випливає існування такого околу точки , що , тобто . Остання рівність показує, що окіл точки не перетинається з звідки і випливає замкненість відображення .
3.18. Твердження. Якщо - фільтр в добутку , то для кожного сім'я є фільтр в . Фільтр збігається до точки тоді і тільки тоді, коли збігається до для кажного .
4. ФАКТОР-ПРОСТОРИ І ФАКТОР-ВІДОБРАЖЕННЯ
Нехай X - топологічний простір і Е - деяке відношення еквівалентності на множині X. Позначимо через Х/Е множину всіх класів еквівалентності відношення Е, а через - відображення множини X на Х/Е, поставивши у відповідність кожній точці її клас еквівалентності . Нехай відображення - неперервне. У класі всіх топологій на Х/Е, відносно яких неперервне, існує найтонша: це сім'я всіх множин і, таких, що відкритий в X. Ця топологія називається фактор-топологією, множина Х/Е, задана цією топологією, називається фактор-простором, а -звичайним факторним відображенням
4.1. Твердження. Множина у фактор-просторі Х/Е замкнена тоді і тільки тоді, коли - замкнена підмножина простору X.
Доведення. Твердження випливає з рівності
.
4.2. Твердження. Відображення фактор-простору в топологічний простір неперервне тоді і тільки тоді, коли неперервна композиція .
Доведення. Нехай неперервне; тоді також неперервне. І, навпаки, нехай неперервне; тоді для кожної відкритої множини множина відкрита в X, а це означає, що відкрите в Х/Е.
Нехай X і У - топологічні простори і - неперервне відображення X на У. Розглянемо відношення еквівалентності на множині X, визначене розкладом простору X на прообрази одноточкових підмножин У при відображенні . Відображення можна представити як композицію , де - природне відображення, а - відображення фактор-простору на У, задане формулою . Відображення неперервно через 4.2. Очевидно, що - взаємно однозначне неперервне відображення простору на , але, не гомеоморфізм. Насправді, якщо - взаємно однозначне відображення дискретного простору на інтервал , то фактор-простір також дискретне, тому не є гомеоморфізмом.
Неперервне відображення простору X на У називається фактор-відображенням, якщо воно є композицією звичайного відображення і деякого гомеоморфізма, тобто якщо існують таке відношення еквівалентності Е на множині X і такий гомеоморфізм , що , де - звичайне відображення.
4.3. Твердження. Для відображення топологічного простору X на топологічний простір У рівносильними є наступні умови:
1. Відображення є факторвідображенням.
2. Множина відкрита в X тоді і тільки тоді, коли відкрита в .
3. Множина замкнена в X тоді і тільки тоді, коли замкнена в .
4. Відображення є гомеоморфізмом.
Доведення. Нехай - факторвідображення, тобто , де - гомеоморфізм, а -звичайне відображення. За означенням .фактортопології множина відкрита в X тоді і тільки тоді, коли відкрите в ; оскільки - гомеоморфізм, то останнє твердження має місце тоді і тільки тоді, коли відкритий в У. Отже, ми довели, що .Імплікація випливає безпосередньо з рівності . Нехай тепер задовольняє умові . Оскільки відображення взаємно однозначне, то для доведення достатньо показати, що для кожного замкненого множина замкнена в У. Але замкнене в X, тому множина замкнена в У в силу .
4.4. Наслідок. Композиція двох фактор відображень є фактор відображення.
4.5. Наслідок. Будь-яке взаємно однозначне факторвідображення є гомеоморфізмом.
4.6. Наслідок. Факторвідображення замкнене (відкрите)тоді і тільки тоді, коли множина замкнена (відкрита) для будь-якого замкненего (відкритого) .
4.7. Твердження. Фактор-простір деякого фактор-простору простору X є фактор-простором простору X.
Точніше, якщо Е - відношення еквівалентності на просторі X, а - відношення еквівалентності на факторпросторах , то відображення
,
де - звичайні факторвідображення, є гомеоморфізмом.
4.10. Твердження. Якщо -фактор-відображення, то для будь-якої відкритої або замкненої множини звуження є фактор-відображенням.
Нехай - сім'я топологічних просторів і - відношення еквівалентності на для кожного . Визначимо відношення еквівалентності Е на на добутку , вважаючи тоді і тільки тоді, коли для кожного . Відношення Е називається (декартовим) добутком відношення і позначається або , якщо .
4.11. Твердження. Нехай для будь-якого -деяке відношення еквівалентності на просторі , а звичайне відображення, тоді відображення
є гомеоморфізм.
4.12. Приклад. Нехай володіють топологією як підпростори , і нехай . Нехай - фактор-простір, одержаний із ототожненням множини цілих додатніх чисел в точку, і нехай - фактор відображення; як відомо, відображення замкнене. Покажемо, що
Loading...

 
 

Цікаве