WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції на топологічних просторах - Курсова робота

Операції на топологічних просторах - Курсова робота

топологія співпадають.
Доведення. Вважатимемо, що для кожного . Оскільки звуження проекцій неперервні, то топологія підпростору на А тонша, ніж топологія добутку (через означення останнього). Будь-яка відкрита множина підпростору А є перетином А з об'єднанням сім'ї елементів канонічної бази простору ,тобто об'єднанням перетинів А з елементами цієї сім'ї.
Оскільки кожен такий перетин є елементом канонічної бази для , то топологія добутку на А тонша, ніж топологія підпростору.
3.3. Твердження. Для кожної сім'ї множин де ,має місце рівність .
Доведення. тоді і тільки тоді, коли для кожного елемента канонічної бази простору який містить х, ми маємо
,
тобто якщо для кожного і будь-якого околу s- тікоординати точки х ми маємо . Остання умова виконується тоді і тільки тоді, коли .
3.4. Наслідок. Множина де , скрізь щільна у добутку ,тоді і тільки тоді, коли , скрізь щільна в X, для кожного .
3.5. Твердження. Відображення f топологічного простору X в добуток неперервне тоді і тільки тоді, коли композиція неперервна для кожного .
3.6. Твердження. Нехай - сім'я топологічних просторів. Якщо , де для , то простори і гомеоморфні, тобто декартів
добуток асоціативний.
Доведення. Поставимо у відповідність точці точку , де . Визначене у такий спосіб відображення f взаємно однозначно однозначно відображає простір на . Застосувавши 3.5, переконаємося, що відображення неперервні.
Із останнього твердження випливає, що простори гомеоморфні для будь-якого простору Х і будь-якого кардинального числа .
3.7. Твердження. Нехай - сім'я топологічних просторів і - взаємно однозначне відображення S на себе. Тоді простори і гомеоморфні, тобто декартів добуток комутативний.
3.8.Приклад. Нехай п - додатне ціле число; простір - добуток п прямих - називається евклідовим п-вимірним простором. Простір -добуток п замкнених одиничних відрізків - називається одиничним п-вимірним кубом. Якщо , то підпростір простору , що складається зі всіх точок, у яких останні координат рівні нулю, гомеоморфний простору , тобто вкладемо в при . Підпростір простору , що складається зі всіх точок , таких, що , називається одиничною п-вимірною сферою і позначається . Замінюючи знак рівності на визначенні (п-1) -вимірної сфери, ми одержимо підмножину простору , яка називається одиничною п-вимірною кулею і позначається .Одновимірна сфера - це коло, а добуток - тор.
Нехай задані дві сім'ї і топологічних просторів і сім'я відображень , де . На основі твердження 3.5, відображення, що переводить точку в точку , неперервне. Воно називається декартовим добутком відображень і позначається або якщо . Для декартових добутків, мають місце співвідношення , де , .
Нехай задані топологічний простір X, сім'я топологічних просторів і сім'я відображень , де . За твердженням 3.5, відображення, що переводить точку в точку , неперервне. Це відображення називається діагоналлю відображень (або діагональним відображенням) і позначається або якщо . Відзначимо, що для діагоналі мають місце співвідношення
,
де , .Образ,
де , називається діагоналлю добутку . Якщо X - гаусдорфів простір, то діагональ замкнена в . Деяка топологічна властивість P мультиплікативна, якщо для будь-якого сім'ї просторів з властивістю P їх добуток також володіє властивістю P.
3.9.Наслідок. Перша і друга аксіоми зліченності є мультиплікативними властивостями.
3.10. Теорема Хьюїтта - Марчевського - Пондіцері. Якщо для кожного і , то .
Доведення.Припустимо, що простори непорожні і що .Нехай - скрізь щільний підпростір простору таке, що . Доведемо, що добуток містить скрізь щільну підмножину потужності . Оскільки декартовий добуток , де - довільне відображення дискретного простору на , є неперервним відображенням простору на , то доведення зводиться до перевірки того, що .Позначимо через Т -у степінь двоточкового дискретного простору; тоді і . Нехай ? - база простору Т, така, що , і нехай - сукупність всіх кінцевих сімей попарно неперетинних елементів бази. ?. Очевидно, що . У добутку, виберемо множину А, яка складається зі всіх функцій f із Т в таких, що сім'я із властивістю: f постійна на кожній множині і на множині
. Оскільки , то і .
Покажемо, що множина А скрізь щільна в , тобто для кожної непорожної відкритої множини перетин непорожня. Виберемо точки при , і точки такі, що . Оскільки Т-гаусдорфів простір ,то існує така сім'я , що для . Функція f із Т в , визначається формулою
належить обом множинам А і V, тобто .
3.11. Твердження.У добутку сепарабельних просторів будь-яка сім'я попарно неперетинних непорожніх відкритих множин є зліченна.
Обмеження числа співмножників в теоремі Хьюїтта - Марчевського - Пондіцері є важливим.
3.12. Лема. Якщо відображення взаємно однозначне і одноелементна сім'я розділяє точки і замкнені множини, то - гомеоморфне вкладення.
Доведення. Достатньо показати, що для кожної замкненої множини має місце співвідношення
(1)
Якщо , то і .Отже, права частина співвідношення (1) міститься в його лівій частині. Зворотне включення очевидне.
Під графіком відображення простору X в У розуміють підмножину добутку , визначене формулою
Простір X називається універсальним для всіх просторів, що володіють даною топологічною властивістю , якщо X володіє властивістю і кожен простір, що володіє цією властивістю, можна вкласти в X.
Тіхоновській куб ваги є простір , тобто добуток , де для кожного і . Тихонівський куб називається гільбертовим кубом. Якщо , то куб вкладається в .
3.13. Теорема. Тихонівській куб є універсальним для всіх тихонівських просторів ваги .
Доведення. Замкнений одиничний інтервал є тихонівським простором; отже, куб також є тихонівським простором.
Покажемо, що кожен тихонівський простір X ваги вкладається в . Оскільки дискретний простір є тихонівським простором ваги , то з цього випливає, що
,
і це завершує доведення рівності .
Оскільки X - тихонівський простір, то сім'я всіх функціонально відкритих множин є базою простору X. Існує така база простору X, що складається з функціонально відкритих множин таких, що . Для кожного розглянемо неперервне відображення таке, що . Сім'я розділяє точки і замкнені множини. Оскільки X є -простором, то з теореми про діагональне відображення випливає, що діагональ
Loading...

 
 

Цікаве