WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції на топологічних просторах - Курсова робота

Операції на топологічних просторах - Курсова робота

така функція ,що і . Якщо то матимемо ,яке задовольнятиме умови (1) і (2).
Визначимо тепер по індукції послідовність неперервних відображень X в R, таку, що
, (3)
. (4)
Щоб отримати застосуємо функції - вкладення J в R.Нехай, уже побудовані. Застосовуючи те ж саме зауваження до ми отримаємо функцію , яка задовольняє (3)і (4) разом із замість і.
Із (3) випливає ,що формула визначає неперервну функцію і, згідно (4), .Таким чином, F є продовження f на X.
Розглянемо функцію .Функція -гомеоморфне вкладення, продовжується на Х до функції .Очевидно, що множина є замкнена підмножина в X, неперетинна з множиною М. Отже, існує неперервне відображення , таке, що .Відображення , визначене формулою ,також є продовженням відображення на X і що .
Функція , визначена співвідношенням є шуканим, продовженням f на X. Доведено.
Відзначимо, що властивість продовження , встановлена теоремою Тітце - Урисона, характеризує нормальні простори в класі -просторів. Насправді, якщо деякий - простір не є X нормальним, то він містить дві неперетинні замкнені підмножини А,В, які не можуть бути відокремлені відкритими множинами, і тому функцію визначену співвідношеннями при і при , не можна неперервно продовжити на X.
1.5.Наслідок. Відображення f. топологічного простору X в топологічний простір У неперервне тоді і тільки тоді, коли кожна точка володіє таким околом , що неперервне.
1.6..Теорема. Нехай - скінчена дискретна сім'я замкнених підмножин нормального простору X. Тоді існує сім'я відкритих підмножин простору Х, таке, що
Доведення. Об'єднання замкнений підпростір в X. Для кожного покладемо при будь-якому ; одержимо сім'ю узгоджених відображень .Таким чином, їх комбінація f є неперервним відображенням. За теоремою Тітце - Урисона f продовжується до відображення . Множини володіють необхідними властивостями.
1.7. Твердження. Нехай X - топологічний простір, - його покриття і - сім'я узгоджених відображень , таке, що комбінація неперервна .Якщо всі відображення відкриті (замкнені і сім'я локально кінцеві), то комбінація f відкрита (замкнена).
Доведення. Достатньо застосувати рівність
2. СУМИ
Нехай задана сім'я попарно неперетинних топологічних просторів, тобто Розглянемо множину і сім'я Q всіх множин таких, що відкриті в для кожного .Сім'я Q задовольняє умовам (1)-(3) і тому визначає деяку топологію на множині X. Множина X з цією топологією називається сумою просторів і позначається або якщо .
2.1 Твердження. Множина замкнена тоді і тільки тоді, коли перетин замкнене в для кожного .
Доведення. Множина А замкнена тоді і тільки тоді, коли його доповнення відкрите. Отже, дане твердження випливає із рівності
Доведено.
2.2. Наслідок. Кожна множина , відкрито-замкнена в .
Очевидно, що кожне є підпростором суми ; вкладення в позначається .
2.3. Твердження. Якщо топологічний простір X може бути представлений як об'єднання сім'ї попарно неперетинних відкритих підмножин, то .
Доведення. Множини X і співпадають, тому достатньо показати, що співпадають також їх сім'ї відкритих множин. Якщо U відкритий в X, то перетин відкритий в для кожного , отже, U відкритий в .І навпаки, якщо U відкритий в ,то для кожного перетин відкритий в , тому відкритий і в Х. Звідси випливає, що відкрите в Х.
2.4. Наслідок. Нехай - сім'я попарно неперетинних топологічних просторів. Якщо ,де тобто сума простору асоціативна.
2.5. Твердження. Відображення f суми в топологічний простір У неперервне тоді і тільки тоді, коли композиція неперервна для кожного .
Доведення. Якщо , то кожне неперервне як композиція двох неперервних відображень. І навпаки, якщо для відображення f суми в простір У кожне неперервне, то неперервне. Доведено.
Суму можна також визначити для сім'ї топологічних просторів , які є попарно неперетинними. Для цього візьмемо сім'ю попарно неперетинних просторів, таких, що ; гомеоморфно для всіх , і покладемо .Нехай будь-яке сім'я просторів має суму (визначену з точністю до гомеоморфізма), ця сім'я складається з попарно неперетинних просторів.
Кажемо, що топологічна властивість - адитивна ( -адитивна, скінчено - адитивна), якщо для будь-якої сім'ї (такої, що просторів, що володіють властивістю , сума також володіє властивістю .
2.6.Приклади. Дискретний простір є сумою одноточкових просторів.
Для будь-якої точки х. прямої Зоргенфрея може бути представлена як сума , де .Насправді, в якості можна вибрати інтервал , що міститься в U, а в якості - його доповнення .Оскільки відкрито-замкнений в К, то рівність випливає із твердження 2.3.
Пряму R не можна представити як суму непорожніх множин . Припустимо протилежне, тобто що . Виберемо точки , можемо вважати, що . Множина обмежена; нехай - його найменша верхня грань. Оскільки замкнене, то , звідки .Оскільки Х1 відкритий, то існує таке , що , і ми маємо Л всупереч визначенню найменшої верхньої грані.
3. ДОБУТКИ
Нехай - сім'я топологічних просторів. Розглянемо (декартів) добуток множин і сім'я відображень ,де співставляє точці її s- ту координату . Множина з топологією, породженою сім'єю відображень називається (декартовим) добутком просторів, а сама топологія називається тихонівською топологією на ; відображення називається проекціями. Для будь-якої сім'ї топологічних просторів символом надалі позначатимемо топологічний простір, на якому задано тихонівсько топологію. Добуток називається m- им степенем простору Х; добуток називають також квадратом простору Х.
3.1 Твердження. Сім'я всіх множин - відкрита підмножина простору і тільки для кінцевої множини , утворює базу добутку .Якщо для кожного фіксована деяка база простору , то підсім'я, що складається з тих в яких також утворює базу.
Доведення. Сім'я всієї множина вигляду ,де відкриті в є
базою простору . Бачимо, що , де при , і
Друга частина є наслідком першої і означення бази.
База простору , описана в першій частині наведеного вище твердження, називається канонічною базою добутку. Очевидно, що сім'я всіх множин , де - відкрита підмножина простору і тільки для одного , є передбазою добутку .
3.2. Твердження. Якщо - сім'я топологічних просторів і - підпростір простору , то дві топології, визначені на множині , а саме топологія добутку підпросторів і
Loading...

 
 

Цікаве