WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Операції на топологічних просторах - Курсова робота

Операції на топологічних просторах - Курсова робота


Курсова робота
на тему:
Операції на топологічних просторах
План
1. Підпростори.
2. Суми.
3. Добутки.
4. Фактор-простори та фактор-відображення.
Вступ
Темою моєї курсової роботи є операції на топологічних просторах, тобто методи побудови нових топологічних просторів із заданих. Ідеї топології беруть початок із робіт видатних математиків ХІХ ст.: Н. І. Лобачевського, Рімана, Пуанкаре, Френне, Кантора, Гілберта та Браура. Оформлення топології у самостійну область математики пов'язане із виходом у 1914р. книжки Ф. Хаусдорфа "Теорія множин".
Розділ 1 присв'ячений підпросторам. Тут ми вивчаємо звуження і продовження неперервних відображень та функцій. Важливим результатом є теорема Тітце-Урисона.
У розділі 2 описано суми топологічних просторів, які вперше появилися у роботі Тітце у 1923р. Застосування операції суми інколи спрощує доведення та розв'язання прикладів.
У третьому розділі я розглядаю операцію добутку. Порівняно із іншими операціями на топологічних просторах, добуток приводить до найбільш цікавих теорем, прикладів і задач. Френе першим розглядав декартів добуток абстрактних просторів
Фактор-простори вперше появилися у роботі Мора і Александрова. Ці автори вивчали частинний випадок, коли фактор-простір породжується напівнеперервним зверху розбиттям. Мор вивчав тільки розбиття площини на континууми.
?
1. ПІДПРОСТОРИ
Топологічним простором називається пара ,яка складається із множини X і деякої сім'ї підмножини множини X і, яка задовольняє наступні умови:
1) і .
2) якщо і ,то .
3) якщо ,то .
Нехай задано деякий топологічний простір X і множину .Сім'я всіх множин вигляду , де U відкрита в X, і задовольняє умовам 1)-3).Дійсно, умова 1) виконана, оскільки і ,а із рівності
випливає, що виконані також і умови2) і 3)).
Взявши сім'ю відкрита в X},як сім'ю відкритих множин в М, ми визначаємо на М топологію. Множина М з цією топологією називається підпростором простору X, а сама топологія називається індукованою топологією або топологією підпростору.
1.1.Твердження. Нехай X - топологічний простір і М - його підпростір. Множина замкнена в М тоді і тільки тоді, коли ,деF замкнeна в X. Замикання множини в просторі М і замикання множини А в просторі X пов'язані рівністю .
Доведення. Якщо , де ,то і замкнена в М як доповнення до відкритої множини. Навпаки, якщо А - замкнена підмножина М, то ,де відкрита в X, а це означає,що
де Р = Хи замкнене в X.
За означенням оператора замикання дорівнює перетину всіх замкнених підмножин простору М, що містять А, тобто всіх множин вигляду ,де і .Звідси отримаємо рівність .Доведено.
1.2. Твердження. Нехай М - підпростір простору X і ; дві визначені на L топології - топологія підпростору простору М і топологія підпростору простору X - співпадають.
Підпростір М простору X називається його замкненим підпростором, якщо множина М замкнена в X. Якщо М - замкнений підпростір простору X, то множина замкнена в М тоді і тільки, коли вона замкнена в X, тоді для кожного .Якщо - відкрита підмножина простору ,то множина відкрита в М тоді і тільки тоді, коли вона відкрита в Х.
Для кожного топологічного простору X і кожного його підпростору М формула визначає відображення М в X. Оскільки ,то це відображення неперервне. Відображення називається вкладенням підпростору М в простір X. Топологія підпростору співпадає з топологією, породженою відображенням множини М в топологічному просторі X. Вкладення замкнене (відкритий) в тому і лише тому випадку, якщо підпростір М замкнений (відкритий).
Для кожного відображення і кожного підпростору М простору X композиція є неперервним відображенням простору М в простір У. Це відображення називається звуженням відображення f на і позначається .Оскільки композиція замкнених (відкритих) відображень є замкнутим (відкритим) відображенням, то звуження замкненого (відкритого) відображення на замкнуту (відкриту) множину замкнене (відкритий).
Звуження відображення на і визначається як відображення підпростору М в множину , яке довільній точці ставить у відповідність точку підпростору .Це звуження позначається через .
Ще одним різновидом звуження є звуження відображення на визначене як відображення підпростору в простір ,який зіставляє точку точці .Це звуження позначається .
Формули, які відносяться до образів і прообразів при звуженнях:
, ; ;
, ; , ;
, ; , .
1.3.Теорема. Для будь-якого - простору X наступні умови рівносильні:
1) Простір X є спадковим.
2) Кожен відкритий підпростір простору X нормальний.
3) Для кожної пари відокремлених множин А, існують відкриті множини U, ,такі що , і .
Доведення .Те, що з 1) випливає 2) очевидно. Покажемо, що 2)=>3). Нехай множини А, відокремлені. Нехай Очевидно, що А, М. Замикання множини А і В М не перетинаються. Отже, М- нормальне, то існують відкриті в М множини U,V такі, що , і .Оскільки М - відкритий підпростір простору X, то множини U і V відкриті в X.
Для завершення покажемо, що .Нехай М - довільний підпростір простору X і А, - пари замкнених підмножин в М, які не перетинаються. Очевидно, що А і В відокремлені в X, тоді існують відкриті множини U, , такі, що, , і .Перетини і відкриті в М, не перетинаються і містять відповідно А і В.
Нехай для відображення ,яке є визначене на підпросторі М простору X, існує відображення ,таке, що .Тоді f неперервно продовжується, або, продовжується на простір X; відображення f називається продовженням відображення f на X. Не всяке неперервне відображення, визначене на деякому підпросторі, має неперервне продовження на весь простір. Лема Урисона може бути переформульована як така теорема. Лема Урисона стверджує, що якщо який-небудь підпростір М нормального простору X може бути представлена як об'єднання двох неперетинних підмножин А і В, замкнених в X, то функція , визначається формулою
неперервно продовжується на Х.
1.4.Теорема Тітце - Урисона. Кожна неперервна функція , задана на замкненому підпросторі деякого нормального простору X, разом із значеннями в I або неперервно продовжується на X.
Доведення. Перш за все доведемо нашу теорему для функцій з X в І. Розглянемо випадок ,де J - інтервал , гомеоморфний .
,який задовольняє умову , існує таке ,що
(1)
. (2)
Насправді, множина не перетинаються і замкнені в М ,а це означає,що вони замкнені в X, і, за лемою Урисона, існує
Loading...

 
 

Цікаве