WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

доведено. Якщо тепер (T(i)) володіє однією з властивостей, сформульованих в б), то покриття простору Y Z володіє тією ж властивістю; якщо всі ідеальні, то все замкнуті і, значить замкнуте, що і завершує доведення.
2. Характеризація ідеальних відображень властивостями компактності
ЛЕМА. Топологічний простір X, для якого відображення Х Р ідеальне, квазікомпактне.
ТЕОРЕМА. Нехай - неперервне відображення. Наступні чотири властивості рівносильні:
а) f ідеальне.
б) f замкнуте і для кожного y квазікомпактне .
в) Якщо - фільтр в X і у У - точка дотику базису фільтру f( ), то існує точка дотику х фільтру в X така, що f(x)= у.
г)ЯкщоU - ультрафільтр в X і y Y-межа базису ультрафільтру f(U), то існує межа х ультрафільтру U такий, що f(x)= у.
ЛЕМА. Якщо - сімейство неперервних відображень кожне з яких задовольняє умові г), то і їх добуток задовольняє умові г).
Насправді, хай U - ультрафільтр в Х = , і у =( ) точка в , до якої збігаються f(U). Це означає, що кожен із базисів ультрафільтрів U U)) сходиться до yi .Через умову г) для кожного і І існує таке , що сходиться до xі; але тоді U сходиться до х= і f(x)=y, що доводить лему.
ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо - ідеальне відображення і K-квазікомпактна множина в Y, то множина квазікомпактна.
.
3. Ідеальні відображення в локально компактних просторах
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай f - неперервне відображення віддільного простору X в локально компактний простір Y. Для того, щоб f було ідеальним, необхідно і достатньо, щоб прообраз f (K) будь-якої компактної множини K Y був
компактний. При цьому якщо f ідеальне, то X локально компактний.
НАСЛІДОК. Нехай X і X' - локально компактні простори, а і - компактні простори, що одержуються шляхом приєднання до X і X' відповідно нескінченно видалених точок і . Для того, щоб неперервне відображення було ідеальне, необхідне і достатньо, щоб його продовження таке, що , було неперервне.
IX. Зв'язність
1. Зв'язні простори і множини
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X називають зв'язним, якщо він не є об'єднанням двох неперетинних непорожніх відкритих множин.
Рівносильне означення одержимо, замінивши слово "відкритих" на "замкнутих"; те ж саме можна виразити , сказавши, що крім всього простору Х і порожньої множини в Х немає відкрито-замкнутих множин.
Якщо Х- зв'язний, А і В- непорожні відкриті множини такі, що А В=Х, то А В=?.
ТВЕРДЖЕННЯ. Для того, щоб топологічний простір X був незв'язним, необхідно і достатньо, щоб існувало неперервне сюр'єктивне відображення його в дискретний простір, що містить більш за одну точку.
Якщо А і В - відкриті множини, створюючі розбиття простору X, то ми одержимо неперервне відображення f цього простору на дискретний простір { а, b}, що складається з двох елементів, поклавши f(A)={a} і f(B)= {b}.
2. Факторпростори зв'язного простору
ТВЕРДЖЕННЯ. Всякий факторпростір зв'язного простору зв'язний.
ТВЕРДЖЕННЯ. Ненхай X - топологічний простір і R - відношення еквівалентності в X. Якщо фактор простір X/R зв'язний і всі класи еквівалентності по R зв'язні, то X зв'язний.
Міркуючи від супротивного, припустимо, що існує розбиття простору X на дві відкриті множини А і В. Ці множини насичені по R, бо якщо х А, то клас М точки х по R не може перетинатися з В, оскільки тоді множини А М і В М утворювали б розбиття М на дві відкритих щодо М множини, що суперечить припущенню. Канонічні образи множин А і В будуть тоді відкритими підмножинами факторпростору X/R, створюючими його розбиття, що неможливе.
3. Зв'язні компоненти
ОЗНАЧЕННЯ. Зв'язною компонентою точки простору X називають найбільшу зв'язнумножину в X, що містить цю точку. Зв'язними компонентами множини А X називають зв'язні компоненти його точок щодо підпростору А простору X.
ТВЕРДЖЕННЯ. У топологічному просторі X зв'язна компонента будь-якої точки є замкнута множина. Відношення "y належить зв'язній компоненті точки х" є відношенням еквівалентності R { х, у } в X , класами еквівалентності якого служать всілякі зв'язні компоненти в X; факторпростір X/R цілком незв'язний.
ТВЕРДЖЕННЯ. У добутку зв'язна компонента точки х=(хі) є добуток зв'язних компонент точок в просторах-співмножниках Xі.
Насправді, добуток цих множин зв'язний . З іншого боку, якщо зв'язна множина А з X містить х, то є зв'язна множина , що містить ; оскільки А , то А міститься в добутку зв'язних компонент точок
6. Локально зв'язні простори
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X називають локально зв'язковим, якщо всяка його точка володіє фундаментальною системою зв'язних околів.
ТВЕРДЖЕННЯ. Для того, щоб простір X був локально зв'язним, необхідно і достатньо, щоб всяка зв'язна компонента відкритої множини в X була відкритою множиною в X.
ТВЕРДЖЕННЯ. Всякий факторпростір локально зв'язного простору локально зв'язний.
5. Застосування: теорема Пуанкаре-Вольтерра
ТЕОРЕМА. Нехай X - топологічний простір, що задовольняє аксіомі (ОІІІ) (але не обов'язково віддільний), зв'язний і локально зв'язний. Нехай Y - топологічний простір, топологія якого володіє зліченним базисом, і р: - неперервне відображення, для якого р-1(у) при будь-якому у є дискретний підпростір простору X. Нехай, нарешті, B- множина підмножин простору X, внутрішність яких утворюють покриття X, причому виконані ще наступні умови:
1° Звуження р на будь-яке B є замкнуте відображення V в Y.
2° Всяка множина B містить зліченну скрізь щільну в V підмножину.
Тоді простір X є об'єднанням сімейства відкритих множин, кожна з яких міститься в деякій множині з B.
ЛЕМА. Для будь-якої точки х Х існує така виділена пара (W, U), що х W.
ЛЕМА. Нехай дана виділена пара (W, U); множина тих виділених пар ( , U'), для яких ?, зліченна.
НАСЛІДОК. Нехай Y - регулярний простір, топологія якого володіє рахунковим базисом .Нехай, далі, X- зв'язне локально зв'язний простір і р: X Y - неперервне відображення, що володіє наступною властивістю: у кожної точки х Х існує такий замкнутий окіл V в X, що звуження р на V є гомеоморфізм V на замкнутий підпростір простору Y. Тоді X- регулярний простір, топологія якого володіє зліченним базисом.
НАСЛІДОК. Нехай X - локально компактний, зв'язний і локально зв'язний простір, кожна точка якого має окіл, що володіє зліченним базисом. Нехай, далі, Y- віддільний простір, топологія якого володіє зліченним базисом , і р:X Y - неперервне відображення, для якого р-1(у) є дискретний підпростір в X при будь-якому у . Тоді топологія простору X володіє зліченним базисом.
НАСЛІДОК (теорема Пумнкаре - Вольтерра). Нехай Y - локально компактний, локально зв'язний простір, топологія якого володіє зліченним базисом, X - зв'язний віддільний простір і р: X Y - неперервне відображення, що володіє наступною властивістю: кожна точка х Х має такий відкритий
окіл U, що звуження p на U є гомеоморфізм U на відкритий підпростір простору Y. Тоді X локально компактний, локально зв'язний і його топологія володіє зліченним базисом.
Список використаної літератури
1. Бурбаки Н. Общая топология. - М., Наука, 1957.
2. Александров П.С. Введение в теорію множеств и общую топологію. - М., Наука, 1977.
3. Енгелькинг Р. Общая топология. - М., Мир, 1986.
4. Куратовський К. Топология. Т. 1. - М., Мир, 1966.
5. Куратовський К. Топология. Т. 2. - М., Мир, 1969.
Loading...

 
 

Цікаве