WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

точку дотику у А. Але фільтр ? мажорується фільтром в X, породженим ? тому у є також точкою дотику для ?. А тоді у = х, бо ? має х своєю межею в X, а X віддільний.
.
ОЗНАЧЕННЯ. Множина А в топологічному просторі X називається відносно квазікомпактниою (відносно компактною) в X, якщо А міститься в деякій квазікомпактній (компактномій) множині з X.
Коротко говорять також, що А "відносна квазікомпактна" ( "відносно компактна") множина, коли не може бути неясності щодо X. У віддільному просторі поняття щодо квазікомпактної і щодо компактної множин співпадають.
4. Образ компактного простору при неперервному відображенні
ТЕОРЕМА . Якщо f - неперервне відображення квазікомпактного простору X в топологічний простір X', то множина f(X) квазікомпактна.
Насправді, нехай - покриття множини f(X) відкритими множинами з Х', тоді f -1( ) є відкрите покриття простору X і, отже, існує кінцева підмножина множини така, що f -1 ( ) є покриття X; але тоді буде покриттям множини f(X), і теорема доведена.
НАСЛІДОК 1. Нехай f - неперервне відображення топологічного простору X у віддільний простір X'; тоді образ будь-якої квазікомпактної множини з X є компактна множина в X'.
НАСЛІДОК 2. Всяке неперервне відображення f квазікомпактного простору X у віддільний простір X' замкнуте; якщо, крім того, f бієктівне, то f є гомеоморфізм.
5.Добуток компактних просторів
ТЕОРЕМА (Тіхонов). Всякий добуток квазікомпактних (компактних) просторів квазікомпактний (компактний). Навпаки, якщо добуток непорожніх топологічних просторів квазікомпактний (компактний), то кожний з просторів-співмножників квазікомпактний (компактний).
Зважаючи на характеризацію віддільних добутків все зводиться до доведення тверджень про квазікомпактні простори. Якщо Х= квазікомпактний і не
порожній, то Xі для будь-якого і квазікомпактне , оскільки Xі=pri(X). Навпаки, припустимо, що всі Xі квазікомпактни і U - ультрафільтр в X; тоді pri(U) при будь-якому і І є базис ультрафільтру в Xі , яке справедливе через аксіому ( ); отже U, сходиться, що і завершує доведення.
НАСЛІДОК. ДЛЯ ТОГО ЩОБ множина в добутку топологічних просторів була відносноквазікомпактна, необхідно і достатньо, щоб кожна її проекція була відносноквазікомпактна у відповідному просторі-співмножнику.
6. Локально компактні простори
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X називається локально компактним, якщо він віддільний і всяка його точка має компактний окіл.
Очевидно, всякий компактний простір локально компактний; але зворотне невірно: наприклад, всякий дискретний простір локально компактний, але у випадку, якщо він нескінченний, він є некомпактний.
ТВЕРДЖЕННЯ. Всякий локально компактний простір регулярний.
Насправді, всяка точка х локально компактного простору X має компактний окіл V; оскільки X віддільний, то V замкнутий, з іншого боку, V - регулярний підпростір і, значить, X регулярний.
НАСЛІДОК. У локально компактному просторі всяка точка володіє фундаментальною системою компактних околів.
Насправді, перетин будь-якого замкнутогооколицу точки х з компактним околом цієї точки є компактним околиом точки х .
Відзначимо, що існують невіддільні топологічні простори, в яких всяка точка має фундаментальну систему компактних околів.
ТВЕРДЖЕННЯ. У локально компактному просторі X всяка компактна множина K володіє фундаментальною системою компактних околів.
Насправді, нехай U - довільний окіл множини K; для будь-якого х K існує компактний окіл W(x) точки х, що міститься в U. Коли х пробігає множину K, внутрішність множини W(x) утворює його відкрите покриття, отже, існує скінченне число точок хі K таких, що внутрішність множини W(xі) утворює покриття множини K; об'єднання V множин W(xі) і буде тоді компактним околом множини K, що міститься в U .
ТВЕРДЖЕННЯ.Нехай F - множина в локально компактному просторі X така, що її перетин F К з будь-якою компактною множиною K з X компактний; тоді F замкнуте в X.
ТВЕРДЖЕННЯ. У віддільному просторі X всякий локально компактний підпростір А локально замкнутий.
Насправді, кожна точка х А володіє по припущенню околом V в X таким, що V A компактний і, отже, замкнутий в V .
7. Локально компактні простори, зліченні в нескінченості
ОЗНАЧЕННЯ. Говорять, що локально компактний простір X зліченний в нескінченності, якщо він є зліченним об'єднанням компактних множин.
ТВЕРДЖЕННЯ. У локально компактному просторі X, зліченному в нескінченності, існує послідовність (Un) щодо компактних відкритих множин, які утворють покриття X і таких, що Un+1 для кожного п.
Насправді, X є об'єднання послідовності (Кп) компактних множин. Хай U1 - відносно компактний відкритий окіл множини К1; визначимо по індукції Un для n>1 як відносно компактний відкритий окіл множини Un-1 Кп ясно, що Un утворюють необхідну послідовність.
8. Паракомпактні простори
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X називають паракомпактним, якщо він віддільний і задовольняє наступній аксіомі:
(PC) Для будь-якого відкритого покриття K простору X існує локально кінцеве відкрите покриття K' простору X, мажоруюче над K .
Очевидно, всякий компактний простір паракомпактний. Всякий дискретний простір X паракомпактний, бо відкрите покриття, утворене всіма одно- точковими множинами, локально скінчене і мажорує будь-яке відкрите покриття простору X
ТВЕРДЖЕННЯ. Всякий замкнутий підпростір F паракомпактного простору X паракомпактний.
Насправді, F віддільний. З іншого боку, нехай (Vі) - відкрите покриття в підпросторі F. Кожне Vі має вигляд Vі= Ui F, де Ui - відкрита множина в X. Розглянемо відкрите покриття K простору X, що складається з сF і всіх Uі; існує локально кінцеве відкрите покриття K' простору X, мажоруюче K , і сліди на F множин із K' утворюють локально кінцеве відкрите покриття простору F, що мажорує дане покриття (Vі).
ТВЕРДЖЕННЯ. Сума X сімейства паракомпактних просторів (Xі)і І паракомпактна.
Насправді, нехай (V ) - відкрите покриття простору X; покриття, утворене відкритими множинами Xі V , мажорує (V ). Нехай ( ) для кожного і І- локально кінцеве відкрите покриття простору Хі мажорує ( ; тоді відкрите покриття простору X, утворене множинами ,локально скінчене і мажорує (V ).
VIII. Ідеальні відображення
1. Ідеальні відображення
Якщо f:X Y і : - замкнуті неперервні відображення, добуток f не обов'язково є замкнуте відображення.
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір Y. f називається ідеальним відображенням, якщо воно неперервне і для будь-якого топологічного простору Z відображення замкнуте.
ТВЕРДЖЕННЯ. Всяке ідеальне відображення замкнуте.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай f: X Y - ін'єктивне неперервне відображення. Тоді наступні три умови рівносильні:
а) f ідеальне.
б) f замкнуте.
в) f є гомеоморфізм простору X на замкнуту множину в Y.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай f:X Y - неперервне відображення; для кожного позначимо через f відображення множини у Т, співпадаюче з f на .
а) Якщо f ідеальне, то і f ідеальне.
б) Нехай (T(i)) - сімейство множин в У, внутрішність яких утворюють покриття простору Y або які утворюють локально кінцеве замкнуте покриття цього простору; якщо всі ідеальні, то і f ідеальне.
Нехай Z - топологічний простір. Для кожного T Y маємо ; якщо f ідеальне, то замкнуте, а значить, і замкнуте чим а)і
Loading...

 
 

Цікаве