WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

попереднього твердження, називається віддільним (гаусдорфовим) простором; його топологія називається віддільною (гаусдорфовою).
Аксіома (Н) називається аксіомою Гаусдорфа.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай f і g - неперервні відображення топологічного простору X у віддільний простір Y; тоді множина тих х Х, для яких f(x)= g(x), замкнута в X.
Насправді, ця множина є прообразом діагоналі добутку Y Y щодо неперервного відображення x (f(x), g(x)) простору X в Y Y; звідси слідує справедливість твердження.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай (xi)1 i n- кінцеве сімейство попарно різних точок віддільного простору X; тоді для кожного індексу і існує такий окіл Vi, - точки xi в X, що множини Vi(1 i n) попарно не перетинаються.
Проведемо доведення індукцією по п. При п=2 твердження, яке ми доводимо є ні що інше, як аксіома (Н). Нехай тепер Wі - попарно неперетинні околи точок xi. Для кожного і (1 і n-1) існують околи точки xi і околи Uі точки хn, що мають порожній перетин. Поклавши тоді Vi = Wі для 1 і n-1 і Vn=
одержимо потрібні околи.
2. Продовження по неперервності. Подвійна границя
ТЕОРЕМА. Нехай X - топологічний простір, А - скрізь щільна множина в X і f: A Y - відображення множини А в регулярний простір Y. Для того щоб існувало неперервне відображення : X Y, що продовжує f, необхідно і достатньо, щоб, яким би не було х Х, f(y) прямувало до деякої границі в Y , коли у прямує до х, залишаючись в А. Неперервне продовження відображення f на X тоді єдине.
Єдиність випливає з принципу продовження тотожності . Необхідність умови очевидна, бо якщо неперервне на X, то для будь-якого х Х маємо (х)= (y)= f(y). Навпаки, якщо умова теореееми виконується, то для будь-якого x X покладемо (x) рівним f(y)- цілком визначеному елементу простору Y , оскільки Y віддільний. Залишається довести неперервність f в кожній точці х Х. Нехай V' -замкнутий окіл точки (х) в Y; по припущенню, існує такий відкритий окіл V точки х в X, що f(V A) V'; оскільки V є окіл кожній своєї точки, то для будь-якого z V маємо (z)= f(y), звідки (z) , оскільки замкнутий. Справедливість твердження випливає, таким чином, з того, що замкнуті околи точки f(x) утворюють фундаментальну систему її околів в Y .
Говорять, що відображення одержано продовженням f на X по неперервності.
3. Відношення еквівалентності в регулярному просторі
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай R - замкнуте відношення еквівалентності в регулярному просторі X; тоді графік C відношення R замкнутий в Х Х.
Нехай (а,b) - точка дотику множини C в Х Х і V (W) - замкнутий окіл точки а (окіл точки b) в X; по припущенню існує (х, у) C (V W). Оскільки x V, точка у належить насиченню S околу V по R; значить, W S ? для будь-якого околу W точки b, і так як S за припущенням замкнуте, то b S. Нехай В - насичення множини { b } по R; тоді V B ? для будь-якого замкнутого околу V точки а; оскільки за припущенням В замкнута, а X регулярний, то а В і, значить (а,b) С, що і завершує доведення.
НАСЛІДОК. У регулярному просторі всяке одночасно відкрите і замкнуте відношення еквівалентності віддільне.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X - регулярний простір, F - непорожня замкнута множина в X і R - відношення еквівалентності, що одержується ототожненням один з одним всіх точок з F . Тоді факторпростір X/R віддільний.
Насправді, нехай М і N - два різні класи еквівалентності в X. Якщо кожний з них зводиться до однієї точки з сF, то у віддільному просторі сF існують неперетинні відкриті околи множин М і N, і вони є насиченими по R неперетиннними околами множин М і N в X. Якщо M=F, а N= {b }, де b F, то за припущенням існують відкриті околи точки b і не перетинний з нею відкрий окіл множини F, причому ці окол насищені по R, що і завершує доведення.
Відзначимо, що факторпростір X/R не обов'язково регулярний .
VII. Компактні і локально компактні простори
1. Квазікомпактні і компактні простори
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X називається квазікомпактним, якщо він задовольняє наступній аксіомі:
(C) Всякий фільтр в X має принаймні одну точку дотику.
Топологічний простір називається компактним, якщо він квазікомпактний і віддільний.
Ми сформулюємо три аксіоми, рівносильні аксіомі (С): ( ) Всякий ультрафільтр в X сходиться.
З ( ) випливає (С), бо якщо - фильтр у X, то існує мажоруючий його ультрафільтр , і так як цей ультрафільтр сходиться до деякої точки х, то х є точка дотику для .
З (С) випливає ( ), бо якщо ультрафільтр має точку дотику, то він сходиться до цієї точки.
( ) Всяке сімейство замкнутих множин в X, перетин якого порожній, містить кінцеве підсімейство з порожнім перетином.
З (С) випливає ( ); насправді, нехай - сімейство замкнутихмножин в X, перетин якого порожній; якби перетин кожної кінцевого підсімейства з був не порожній, то породжувало б фільтр , який згідно (С) мав би точку дотику; але ця точка належала б всім множинам з через їх замкнутість, а це суперечить припущенню.
Навпаки, з заперечення (С) випливає заперечення ( ) , бо якщо - фільтр, що не має точок дотику, то замикання множин з утворюють сімейство замкнутих множин, для якого не виконується ( ).
( ) (аксіома Бореля - Лебега). Всяке відкрите покриття простору X містить кінцеве відкрите покриття цього простору.
( )випливає з ( ) переходом до доповнень, так що ці аксіоми еквівалентні.
Якщо X квазікомпактний, то всяке локально кінцеве покриття простору X кінцеве, бо тоді в силу ( ) існує покриття простору X, що складається з скінченного числа відкритих множин, кожназ яких перетинається лише з скінченним числом множин з .
ТЕОРЕМА . Нехай А - множина всіх точок дотику фільтру в квазікомпактному просторі X. Тоді кожний окіл множини А належить .
2. Регулярність компактного простору
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X - компактний простір і х - точка з X. Для того, щоб базис фільтру ?, утворений замкнутими околами точки х, був фундаментальною системою околівь цієї точки, необхідно і достатньо, щоб перетин множин з ? складався з однієї точки х.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай А і В - неперетинніі замкнуті множини в компактному просторі X; тоді існують неперетиннинні відкриті множини U іV такі, що A U і B V.
Припустимо протилежне, тобто що будь-який окіл U множини А і будь-який окіл V множини В перетинаються. Тоді множина U V утворюють базис фільтру ? в X, який матиме точку дотику х Х. Остання повинна належати А, бо через регулярність X у будь-якій точці у А існує окіл, який не перетинається з деяким околом множини А, і, отже, у не може бути точкою дотику для ?. Таким же чином встановлюється, що х В. Отримана суперечність доводить твердження.
3. Квазікомпактні, компактні і відносно компактні множини
ОЗНАЧЕННЯ. Підмножина А топологічного простору X називається квазікомпактною (компактною), якщо підпростір А квазікомпактний (компактний).
ТВЕРДЖЕННЯ.У квазікомпактному (компактному) просторі всяка замкнута множина квазікомпактна (компактна).
Досить застосувати аксіому ( ) , відмітивши, що якщо А замкнута в просторі X, то всяка замкнута множина в А замкнуто в X.
ТВЕРДЖЕННЯ. У віддільному просторі всяка компактна множина замкнута.
Нехай А - компактна множина у віддільному просторі X і х - довільна точка з ; покажемо, що х А. За припущенням слід на А всякого околу точки х не порожній, і тому фільтр ? околів цієї точки в X індукує в А фільтр ? ; оскільки А компактна, то ? має
Loading...

 
 

Цікаве