WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

просторів
1. Добуток просторів
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай дано сім'ю (Хi)i I, топологічних просторів; їх добутком називають множину X = , наділену добутком топологій просторів Хi, Хi (і І) називають просторами-співмножниками добутку X.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай f=(fi)- відображення топологічного простору Y в простір X = . Для того, щоб f було неперервне в точці а Y, необхідно і достатньо, щоб всі fi були неперервні в точці а.
ТВЕРДЖЕННЯ (асоціативність топологічного добутку). Нехай (Хi)i I - сім'я топологічних просторів, (J ) - розбиття множини I і Х' = , для кожного - добуток просторів Xi з індексами i . Канонічне відображення простору на простір є гомеоморфізм.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X - множина, (Yi)i I- сім'я топологічних просторів і fi для кожного і І- відображення X в Yi. Нехай, далі f - відображення x ( fi(x)) множини X в Y= , і ? - слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi. Тоді ? є прообраз відносно f топології, що індукується в f (X) топологією добутку Y
2.Замикання в добутку
ТВЕРДЖЕННЯ. В добутку , топологічних просторів Xі, замикання добутку множин Аі співпадає з добутком , їх замикань.
НАСЛІДОК . Для того, щоб добуток непорожніх множин було замкнутим у просторі .- необхідно і достатньо, щоб Аі, було замкнутим в Хі при будь-якому і.
.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай а=(аі)- точка простору X= ; множина D тих точок х Х, у яких рr ix=аi для всіх, крім скінченого числа, індексів і, скрізь щільна в X.
V. Відкриті і замкнуті відображення
1. Відкриті і замкнуті відображення
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай X і X'- топологічні простори. Кажуть, що відображення f:Х Х' відкрите(замкнуте), якщо образ при відображенні f всякої відкритої ( замкнутої) множини з X відкритий ( замкнутий) в X'.
Зокрема, f (Х ) є тоді відкритою (замкнутою) множиною в X'.
Приклади.1) Нехай А - підпростір топологічного простору X; для того, щоб канонічна ін'єкція j: А Х була відкритою ( замкнутою), необхідно і достатньо, щоб А була відкритою ( замкнутою) в X.
2) Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб вона була неперервною і відкритою або безперервною і замкнутою.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X, X' і X"- топологічні простори f:Х Х' і g: Х' X"- відображення. Тоді:
а) Якщо f і g відкриті (замкнуті), то g f відкрита (замкнута).
б) Якщо g o f відкрита ( замкнута), а f сюр'ективне і неперервне, то g відкрите (замкнуте).
в) Якщо g ° f відкрита ( замкнута), а g ін'єктивне і неперервне, то f відкрите ( замкнуте).
Твердження а) безпосередньо випливає з означення. Для доведення б) досить припустити, що всяка відкрита ( замкнута) множина А' в X' записується у вигляді А'= f (А); де А= f-1 (А') відкрита ( замкнута) в X ; таким чином g(А')= g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X". Нарешті, щоб довести в), відмітимо, що для будь-якої множини А Х маємо f (А)= g-1(g (f (А))); за припущенням, якщо А відкрита ( замкнута) в X, то g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X", і, отже f (А) відкрита ( замкнута) в X'.
2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності
ОЗНАЧЕННЯ. Відношення еквівалентності R в топологічному просторі X називають відкритим ( замкнутим), якщо канонічне відображення X на Х/R відкрите ( замкнуте).
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X і Y- топологічні простори, f : Х Y - неперервне відображення, R - відношення еквівалентності f (х)= f (у) в Х і X Х/R f(X) Y канонічний розклад f. Наступні три властивості рівносильні :
а) f - відкрите відображення.
б) Відображення p, h, i-відкриті.
в) Відношення еквівалентності R відкрите, h -гомеоморфізм і f(X)- відкрита множина в Y.
Крім того, все попереднє залишається в силі , якщо усюди замінити "відкрите" на "замкнуте".
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай R - відкрите (замкнуте) відношення еквівалентності в топологічному просторі X , f - канонічне відображення Х Х/R , А - множина в X.
Припустимо, що виконується одна з наступних двох умов:
а) А відкрита (замкнута) в X.
б) А насичене по R.
Тоді відношення RА, що індукується відношенням R в А, відкрите (замкнуте) і канонічне відображення простору A/RА на f(A) є гомеоморфізмом.
3. Спеціальні властивості замкнутих відображень
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X і Х'-топологічні простори. Для того, щоб відображення f: X X' було неперервним і замкнутим, необхідно і достатньо, щоб f( )= для будь-якої множини .
Умова достатня, бо замкнутість f випливає очевидним чином, а неперервність f випливає з теореми. Навпаки, якщо f неперервне і замкнуте, то f(A) f( ) з теореми 1 § 2; а оскільки, крім того, f( ) замкнуте в X' по припущенню, то f( )= .
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай R - відношення еквівалентності в топологічному просторі X. Для того, щоб R було замкнутим, необхідно і достатньо, щоб всякий клас еквівалентності М по R володів фундаментальною системою околів, насичених по R.
Насправді, припустимо, що R замкнуте, і хай U - довільний відкритий окіл класу М; оскільки F=cU замкнуте в X, насичення S множини F до R замкнуте в X. Так як при цьому М насичене по R, то M S=?, і, отже, V=cS є відкритим околом М, що насичена по R і міститься в U.
Тепер припустимо, що R задовольняє умові твердження і нехай F - довільназамкнута множина в X. Нехай Т - насичення F по R, х - точка з cТ і М - її клас еквівалентності; маємо M T= ? і, тим більше, М =?, тобто U=cF - окіл М. Отже, існує окіл V U класу М, насичена по R, і так як V F = ? i маємо також V T=?; звідси випливає, що cТ є околом класу М, а тим самим і точки х; цим доведено що cТ відкрите, тобто Т замкнуте.
VI. Віддільні і регулярні простори
1. Віддільні простори
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X - топологічний простір. Наступні твердження рівносильні:
(Н) Які б ні були різні точки х і у в X, існують окіл точки х і окіл точки у, що не мають спільних точок.
(НІ) Перетин всіх замкнутих околів довільної точки з X є множина, що зводиться до однієї цієї точки.
(НІІ) Діагональ простору Х Х є замкнута множина.
(НІІІ) Для будь-якої множини I діагональ простору Y = X' замкнута в Y.
(HIV) Жоден фільтр в X не може мати більше ніж одну границю.
(HV) Якщо фільтр в X має границю х, то х - його єдина точка дотику. Доведемо:
H HІ HV HIV H і H НІІІ НІІ H
(Н) ( НІ): Насправді, якщо х у, то існує відкритий окіл U точки х і відкритий окіл V точки у такі, що U V=?; отже, y .
(HІ) HV: Нехай у х; є замкнутий окіл V точки х такий, що y V, і по припущенню існує таке М , що M V; звідси випливає, що М cV=?, а оскільки cV - окіл точки у, то у не є точкою дотику для .
(HV) (HIV): Це очевидно, оскільки всяка границя фільтру є точкою дотику цього фільтру.
(HIV) (H): Якщо всякий окіл V точки х перетинається зі всяким окоом W точки у, то множини V W утворюють базис фільтру, що має своєю границею в X як х, так і у. Звідси і випливає істинність твердження.
(Н) (НІІІ): Нехай x=(xі) - точка з XІ, що не належить , так що є принаймні два індекси для яких . Нехай і - околи точок і в X такі, що =?, тоді множина W= є околом точки х в XІ, не перетинна з А, що і доводить замкнутість в XІ.
(НІІІ) (НІІ): Очевидно.
(НІІ) (Н): Якщо х у, то точка (х, у) Х Х не належить діагоналі , так що існує окіл V точки х і окіл W точки у такі, що (V W) =?, а це означає, що V W=?.
ОЗНАЧЕННЯ. Топологічний простір X, що задовольняє умовам
Loading...

 
 

Цікаве