WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

точці f (х). Тоді складене відображення h=g f простору X в X" неперервне в точці х
Означення. Відображення топологічного простору X в топологічний простір X' називають неперервним на X , якщо воно неперервне в кожній точці з X.
Приклади. 1) Тотожне відображення топологічного простору X на себе є неперервне.
2) Постійне відображення топологічного простору в топологічний простір неперервне.
3) Всяке відображення дискретного простору в топологічний простір неперервне.
ТЕОРЕМА. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір X'; наступні властивості рівносильні:
а) f неперервне на X;
б) f ( ) для будь-якого А Х;
в) прообраз всякої замкнутої множини із X' є замкнута множина в X;
г) прообраз всякої відкритої множини з X' є відкрита множина в X.
Ми вже бачили, що з а) випливає б). Покажемо, що з б)випливає в): нехай F' - замкнута множина в X' і F=f-1(F'); за припущенням маємо f( =F', звідки f-1(F')= F , тобто F= і F замкнуте, з в) випливає г) внаслідок того, що cf---1(А')=f-1(c А') для будь-якого .А' Х'. Нехай виконано г); для будь-якого х X і будь-якого околу V' точки f(x) у X' Існує відкрита множина А' в X' така, що f(x) А' V': тоді x f-1(А') f-1(V'), оскільки f-1(А') відкрите, f-1(V') є околом точки х в X, чим доведено, що з г) випливає а).
Теорема. 1. Нехай f: Х Х' і g: Х' Х"- неперервні відображення, тоді g f:Х Х" неперервна.
2. Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб і f і обернена до f бієкція g були неперервні.
Зауваження. Може існувати неперервна бієкція топологічного простору X на топологічний простір X', яка не є взаємно неперервною: приклад одержимо, узявши за X' раціональну пряму Q, а за X - множину Q, наділену дискретною топологією; тотожне відображення X Х' буде неперервне, але не буде гомеоморфізмом.
2. Порівняння топологій
Означення. Нехай дані топології ?1 і ?2 , в одній і тій же множині X; говорять,що ?1 мажорує над ?2, якщо тотожне відображення X1 X2 , де Хi - множини X, наділене топологією ?і (і=1,2), неперервне. Якщо, крім того ?1 ?2, то говорять, що ?1 сильніше ?2.
Твердження. Нехай ?1, ?2 - топології в множині X. Наступні твердження рівносильні:
а) ?1 мажорує над ?2.
б) Яким би не було х Х, будь-який окіл х в топології ?2 є околом х в топології ?1.
в) Для будь-якого А Х замикання А в топології ?2 містить замикання А в топології ?1.
г) Всяка множина з X, замкнута в ?2, замкнута в ?1.
д) Всяка множина з X, відкрита в ?2, відкритав ?1.
Зауваження. 1) У впорядкованій множині топологій в множині X дискретна топологія найсильніша, а топологія, єдиною відкритою множиною якої є ? і X, найслабкіша.
2) Чим топологія сильніша, тим більше відкритих множин, замкнутих множин, околів; замикання множини тим менше, чим топологія сильніша; чим топологія сильніша, тим менше скрізь щільних множин.
3) Неперервне відображення f: Х Х' залишиться неперервним при заміні топології в X мажоруючою топологією. Інакше кажучи, неперервних відображень X в X' тим більше, чим топологія в X сильніша, а топологія в X' слабкіша.
3.Ініціальні топології
Твердження. Нехай X - множина, (Yi)i I - сім'я топологічних просторів, fi для будь-якого i I- відображення X в У. Нехай - множина всіх підмножин X виду f-1i(Ui) і ? - множина перетинів кінцевих сімейств множин з . Тоді ? є базис топології ? в X, яка є ініціальною топологічною структурою в X щодо сім'ї ( fi), i зокрема, слабшою з тих топологій в X, при яких всі ( fi) неперервні. Кажучи точніше, для того, щоб відображення g топологічного просторуZ в X було неперервне в точці z Z, необхідно і достатньо, щоб кожна з функцій fi g була неперервна в точці z.
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X - множина, (Zi)i I - сім'я топологічних просторів, (J ) L- розбиття I і (Y ) L- сім'я множин, що має L своєю множиною індексів. Нехай h для кожного L- відображення X в Y , a gi для будь-яких L і i J - відображення Y в Zi; покладемо тоді fi= gi h . Наділимо кожне Y слабшою із топологій, при яких всі gi неперервні, тоді слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi, співпадає із слабшою із топологій, при яких неперервні всі h .
ІІІ. Підпростори; факторпростори
1. Підпростори топологічного простору
ОЗНАЧЕННЯ. Нехай А - множина в топологічному просторі X. Топологією, що індукується в А топологією простору X, називається топологія, відкритими множинами якої служать сліди на А відкритих множин з X. Множина А, наділене цією топологією, називається підпростором простору X .
Множина, відкрита в підпросторі А, не обов'язково є відкритою в X: для того, щоб будь-яка відкрита множина в А було відкритою в X, необхідно і достатньо, щоб А була відкритою в X.
Замкнуті множини в А - це сліди на А замкнутих множин з X, як і вище, переконуємося, що для того, щоб будь-яка замкнута множина в А було замкнутою в X, необхідно і достатньо, щоб А була замкнута в X.
Околи точки х А відносно А - це сліди на А околів х відносно X; для того, щоб будь-який окіл точки х відносно А був околом точки х відносно X, необхідно і достатньо, щоб А була околом точки х в X.
ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо А і В -- підмножини топологічного простору X, причому В А, то замикання множини В в підпросторі А є слід на А замикання множини В в X.
2. Неперервність щодо підпростору
Нехай X,Y - топологічні простори, f- відображення X вY, В - множина в Y, що містить f(X). Визначення індукованої топології як ініціальної топології показує, що для неперервності f у точці х X необхідно і достатньо, щоб відображення простору X в підпростір В простору Y, що має той же графік, що і f, було неперервне в точці х.
Нехай тепер А - множина в X; якщо f неперервне вточці х А, то його звуження f А є відображенням підпростору А вY, неперервне в точці x.
Якщо А - окіл точки х А в X і f: Х Yтаке, що f А неперервне в точці х, то і f неперервне в точці х, бо всякий окіл точки х відносно А буде околом х відносно X (локальний характер неперервності).
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай (Аі)і І - сім'я підмножин топологічного простору X, внутрішність яких утворює відкрите покриття останнього, або яке є локально кінцевим замкнутим покриттям простору X. Нехай f- відображення X в топологічний простір X'. Якщо звуження f на кожному з підпросторів Аі неперервне, то f неперервне.
3. Локально замкнуті підпростори
ОЗНАЧЕННЯ. Підмножина L топологічного простору X називається локально замкнутою в точці х L, якщо існує такий окіл V точки х в X, що L V замкнутий щодо підпростору V. L називається локально замкнутою в X, якщо вонa локально замкнутa в кожній своїй точці.
ТВЕРДЖЕННЯ. Для підмножини L топологічного простору X наступні умови рівносильні:
а) L локально замкнутa;
б) L є відкрита підмножина свого замикання в X;
в)L є перетин відкритої і замкнутої підмножин простору X.
Очевидно, що з б) випливає в), оскільки L є тоді перетин з відкритою підмножиною простору X; з в) випливає а). Нарешті, з а) випливає б): насправді, тоді кожна точка х L володіє відкритим околом U, для якого U L замкнутий в U; тому U = U L, а це показує, що точка х - внутрішня до L в підпросторі , так що L відкрито в .
НАСЛІДОК. Нехай f: Х Х' - неперервне відображення; тоді прообраз f-1(L') будь-якої локально замкнутої множини L'з X' локально замкнутий в X.
IV. Добуток топологічних
Loading...

 
 

Цікаве