WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота

називають ізоморфізм топологічної структури простору X на топологічну структуру простору X', тобто бієкцію X на X', що перетворює множиту всіх відкритих множин з X в множину всіх відкритих множин з X'.
Говорять, що X і X' гомеоморфні, якщо існує гомеоморфізм X на X'.
Означення гомеоморфізма безпосередньо зводиться до наступного критерію: для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір X' була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при відображенні f всякої відкритої множини з X була відкритою множиною в X', а прообраз відносно f всякої відкритої множини з X'- відкритою множиною в X
2. Околи
Означення. Околом множини А в топологічному просторі X називають всяку множину, яка містить яку-небудь відкриту множину, яка містить А. Окіл одноелементної множини { х} називають також околам точки х.
Твердження. Для того, щоб множина була околом кожної своєї точки, необхідно і достатньо, щоб вона була відкритою.
Позначимо через (х) множину всіх околів точки х. Множини з (х) володіють наступними властивостями:
(VІ) Всяка підмножина множини X, що містить яку-небудь множину з (х), належить (х).
(VІІ) Перетин скінченої кількості множин з (х) належить (х) .
(VІІІ) Елемент х належить кожній множині з (х).
(VІV) Для кожного V, що належить (х), існує W, що належить (х), таке, що V належить (х) для будь-якого y W.
Ці чотири властивості множини (х) є характеристичними.
ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо кожному елементу х множини X поставлена у відповідність множина (х) підмножин з X так, що при цьому мають місце властивості (VІ), (VІІ), (VІІІ) і (VIV), то в X існує, і притому єдина, топологічна структура, для якої (х)служить множиною всіх околів х при будь-якому x X
Якщо необхідна топологічна структура існує, то множиною всіх відкритих множин цієї топології служить множина всіх таких множин А з X, що А (х) для будь-якого х А; звідси випливає єдиність цієї топології, якщо остання існує. Але множина очевидно задовольняє аксіомам (ОІ) і (ОІІ); для (ОІ) це випливає безпосередньо з (VІ), а для (ОІІ) - з (VІІ). Залишається переконатися в тому, що для топології, визначеної множиною , (х) є множиною всіх околів точки х для кожного х X З (VІ) випливає, що будь-який окіл точки х належить (х).. Навпаки, нехай V (х), і U- множина тих точок у, для яких V (y) ; покажемо, що x U, U V і U , чим доведення і буде завершено. Але x U, бо V (х); U V, бо будь-яка точка у U належить V в силу (VІІІ) і припущення, що V (y). Значить, залишається показати, що U , тобто що U (y) для всіх y U, але якщо y U, то згідно (VІV) існує така множина W (y), що V (z) при будь-якому z W. Оскільки V (z) означає, що z U, то W U, звідки в силу (VІ), U (y) що і потрібно було довести.
3. Фундаментальні системи околів; базиси топології
Означення. Фундаментальною системою околів точки х в топологічному просторі X називають всяку множину околів х, що володіє тією властивістю, що для будь-якого околу V точки х існує окіл W такий, що W V.
Таким чином, якщо - фундаментальна система околів множини А в X, то всякий перетин скінченого числа множин з містить деяку множину з .
Означення. Базисом топології топологічного простору X називають всяку множину ? відкритих множин з X, таку, що будь-яка відкрита множина в X є об'єднанням множин, що належать ? .
4. Замкнуті множини
Означення. Замкнутими множинами в топологічному просторі X називають доповнення відкритих множин.
(О'І) Всякий перетин замкнутих множин є замкнута множина.
(О'ІІ) Об'єднання будь-якого сімейства замкнутих множин є замкнута множина.
Порожня множина і весь простір X замкнуті.
Покриття (Fі)і І множини А в топологічному просторі X називається замкнутим, якщо всі Fі замкнуті в X.
Гомеоморфізм f топологічного простору X на топологічний простір X' може бути ще охарактеризований як бієкція X на X', при якій образ всякої замкнутої множини з X є замкнута множина в X', а прообраз всякої замкнутої множини з X' є замкнута множина в X.
5. Локально кінцеві сімейства
Означення. Сім'ю (Aі)і І підмножин топологічного простору X називають локально кінцевою, якщо для будь-якої точки х X існує такий її окіл V, що V Аі = ? для всіх, окрім скінченого числа, індексів і I. Множину підмножин з X називають локально кінцевою, якщо локально кінцевою є сім 'я множин, визначена тотожним відображенням на себе.
Твердження. Об'єднання локально кінцевої сім 'ї замкнутих множин топологічного простору X замкнуте в X.
Справді, нехай (Fі)і І - локально кінцева сім 'я замкнутих множин в X і нехай точка х X не належить F= ; існує окіл V точки х, що має непорожній перетин тільки з множинами Fі індекси яких утворюють в І кінцеву підмножину J. З іншого боку, для будь-якого i J множина Ui=Fi відкритa і містить х; звідси маємо, що F містить околи V точки х. Отже, F відкрита.
6. Внутрішність, замикання, межа множини; скрізь щільні множини
Означення. Точку х топологічного простору X називають внутрішньою точкою множини А, якщо А є околом х. Множина всіх внутрішніх точок множини А називається його внутрішністю і позначається ?
Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб воно співпадало з своєю внутрішністю.
Будь-яка точка , внутрішня одночасно для двох множин А і В, буде внутрішньою і для А В.
Означення. Кажуть, що х є точка дотику множини А в топологічному просторі X, якщо будь-який її окіл перетинається з А. Множина всіх точок дотику множини А називають її замиканням і позначають .
Для замкнутості множини необхідно і достатньо, щоб вона співпадала з своїм замиканням.
Означення. Точку х топологічного простору X називають граничною точкою множини А, якщо вона є точкою дотику одночасно для А і для СА; множина всіх граничних точок множини А називають межею цієї множини.
Таким чином, межею множини А служить замкнута множина . Гранична точка х множини А характеризується тим, що будь-який її окіл містить принаймні одну точку з СА; сама точка х може як належати, так і не належати А. Межа А співпадає з межею СА; якщо взяти внутрішність А, зовнішність А і межу А, то ті з цих трьох множин, які не порожні, утворюють розбиття простору X.
Означення. Кажуть, що підмножина А топологічного просторуX щільна в X , якщо =Х, тобто якщо для будь-якої непорожньої відкритої множини U з X перетин U А не порожній..
Твердження. Якщо ? - базис топології топологічного простору X, то в X існує така скрізь щільна множина D, що Card(D) Card ( ?).
ІІ. Неперервні функції
1. Неперервні функції
Означення. Відображення f топологічного простору X на топологічний простір X' називають неперервним в точці х0, , якщо для будь-якого околу точки f(х0) в X' існує окіл V точки х0 в X такий, що з х V випливає
f (х) .
Твердження. Нехай f - відображення топологічного простору X в топологічний простір X' . Якщо f неперервне в точці х, а х - точка дотику множини А в X, то f (х) - точка дотику множини f (А) в X' .
Справді, нехай - окіл точки f (х) в X'; оскільки f-1( ) є окіл точки х в X, існує точка у А f-1( ) звідки f (у) f (А) ; цим доведено, що f (х) - точка дотику множини f (А).
ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай X , X', X" - топологічні простори, f- відображення X в X', неперервне в точці х Х, g- відображення X' в X", неперервне в
Loading...

 
 

Цікаве