WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Топологічні структури - Курсова робота

Топологічні структури - Курсова робота


Курсова робота
на тему:
Топологічні структури
Зміст
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
І. Відкриті множини; околи; замкнені множини . . . . . . . . . 6
1. Відкриті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Околи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Фундаментальні системи околів; базиси топології . . .8
4. Замкнуті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5. Локально кінцеві сімейства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
6. Внутрішність, замикання, межа множини, скрізь
щільні множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ІІ. Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Порівняння топологій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Ініціальні топології . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ІІІ. Підпростори; факторпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. Підпростори топологічного простору . . . . . . . . . . . . 15
2. Неперервність щодо підпростору . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Локально замкнуті підпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV. Добуток топологічних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1. Добуток просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
2. Замикання в добутку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
V. Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності . . . 19
3. Спеціальні властивості замкнутих відображень . . . . 20
VI. Віддільні і регулярні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. Віддільні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Продовження по неперервності . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
3. Відношення еквівалентності в регулярному просторі 24
VII. Компактні і локально компактні простори . . . . . . . . . . 26
1. Квазікомпактні і компактні простори . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Регулярність компактного простору . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Квазікомпактні, компактні і відносно компактні
множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
4. Образ компактного простору при неперервному
відображенні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5. Добуток компактних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
6. Локально компактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
7. Локально компактні простори, зліченні в
Нескінченості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8. Паракомпактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
VIII. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Характеризація ідеальних відображень властивостями композиції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
3. Ідеальні відображення в локально компактних
Просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IX. Зв'язність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
1. Зв'язні простори і множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2. Факторпростори зв'язного простору . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Зв'язні компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Локально зв'язні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5. Застосування, теорема Пуанкаре-Вольтерра . . . . . . . . . .37
Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Вступ
Темою моєї курсової роботи є топологічні структури. Топологічною структурою , або ж топологією в множині X називають структуру , утворену заданням множини підмножин множини X , що володіє наступними властивостями:
(ОІ) Всяке об'єднання множин з є множина з .
(ОІІ) Перетин всякого скінченого сімейства множин з є множина з .
Дана курсова робота складається із дев'яти розділів.
В першому розділі мова йде про замкнені множини, відкриті множини, околи, базиси топології, про скрізь щільні множини, про ніде не щільні множини. Зокрема, наведені означення топологічного простору, гомеоморфізму.
У другому розділі розглядаються неперервні функції, порівняння топологій та ініціальні топології, сформульоване твердження, про те, що композиція двох неперервних відображень є неперервною. Тут наведене також означення ініціальної топології.
Третій розділ розкриває нам поняття підпростору топологічного простору, локально замкнуті підпростори.
У четвертому розділі розглядаються добутки просторів і замикання просторів , наведене твердження:
В добутку топологічних просторів замикання добутку множин співпадає з добутком їх замикань.
В п'ятому розділі розповідається про відкриті і замкнуті відображення.
Шостий розділ розглядає віддільні і регулярні простори.
У сьомому розділі наведені поняття про компактні і локально компактні простори.
Топологічний простір називається компактним . якщо він квазікомпактний і віддільний.
Локально компактним є топологічний простір X, якщо він віддільний і будь-яка його точка має компактний окіл.
У цьому розділі означено також паракомпактний простір.
Топологічний простір X називається паракомпактним, якщо він віддільний і задовольняє умовам наступної аксіоми:
(РС) Для будь-якого відкритого покриття простору X існує локально скінченне відкрите покриття простору X , яке мажорує над .
У восьмому розділі розповідається про ідеальні відображення.
Нехай -відображення топологічного простору X в топологічний простір Y. називається ідеальним відображенням, якщо воно неперервне і для будь-якого топологічного простору Z відображення замкнуте.
У дев'ятому розділі йде мова про зв'язність.
Топологічний простір X називається зв'язним, якщо він є об'єднаннням двох неперетинних не порожніх відкритих множин.
І. Відкриті множини; околи; замкнуті множини
1. Відкриті множини
ОЗНАЧЕННЯ . Топологічною структурою (або, коротше, топологією) в множині X називають структуру, утворену заданням множини підмножин множини X, що володіє наступними властивостями:
(ОІ) Всяке об'єднання множин з є множина з .
(ОІІ) Перетин всякого скінченогосімейства множин з є множина з .
Множини з називаються відкритими множинами топологічної структури.
ОЗНАЧЕННЯ . Топологічним простором називають множину, наділену топологічною структурою.
Елементи топологічного простору часто називаються точками. Множина X, в якій визначена топологія, називається носієм топологічного простору X.
Покриття (Uі)і І підмножини А топологічного простору X називають відкритим, якщо всі Uі - відкриті множини в X.
Означення. Гомеоморфізмом топологічного простору X на топологічний простір X'
Loading...

 
 

Цікаве